2023 Fiscal Year Research-status Report
Study of categorificaitons of Vassiliev invariants
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20K03604
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| Research Institution | Ibaraki National College of Technology |
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Principal Investigator |
伊藤 昇 茨城工業高等専門学校, 国際創造工学科, 講師 (10580160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
初田 真知子 順天堂大学, 保健医療学部, 教授 (10364887)
吉田 純 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (20884662)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | カテゴリフィケーション / 圏論化 / 圏化 / ホバノフ-ローザンスキーホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究では，DG圏でのbraidにおけるReidemeister移動I, II, III, conjugationについての同型を明示的に記述した．ここで，Reidemeister移動IIIがReidemeister移動IIに帰着させることで，不変量の不変性の運用を簡易にする手法をKauffman trickと呼ぶことにすると，今年度の研究によって，DG圏でのKauffman trickが可能になった．このため，Khovanov homologyの場合に，交差交換に対応するコボルディズムから行なっていたVassiliev不変量の圏論化が，sl(n)においてどのように一般化されるかの手がかりが得られたと言える．
また，Vassiliev不変量の圏論化の研究の基礎付けとして，(A)Vassiliev不変量の曲線版であるArnold不変量のq変形の研究，(B)ブーケグラフのVassiliev不変量のGauss diagram formulaの研究，(C)ナノワードの関手の研究を推進したので，ここでは(A)の内容に絞ってもう少し詳しく触れておく．
1990年代のArnold不変量は正則ホモトピー類上での特異点論による平面曲線の分類だけでなく，ホモトピーをも区別(分類)する不変量となっている．このArnold不変量はgenericな場合は３種類（J+, J-, St）からなり，1996年にビロはアーノルド不変量のJ-のq-変形とも見なされる対象を導入している．また，2013年には曲率の積分としてJ+のq-変形が導入された(Lanzat-Polyak, 2013)．これらはいずれもパラメーターqの0次項が回転数, 1次項がArnold不変量, n次項が対応する特異点のresolutionに対し有限型である．そこで最後に残っていたStのq-変形を導入し，その積分形を定式化した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
DG圏におけるライデマイスター移動の解析は，当初想定していたものよりも遥かに困難な計算内容であったが，それを完遂できたことにより，概ね順調に進展していると言ってよいと考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
ここまで得られた結果をなるべく総合的かつ整理された形，主に出版によって公表する．
予算については，推敲（校閲助言など）に資する形の支出を行い，また，結び目，弦理論の双対性，ラングランズプログラムの研究に関連する書籍を購入する予定である．
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| Causes of Carryover |
主に研究成果を発表する書籍を執筆準備中のため．
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