2020 Fiscal Year Research-status Report
Study on applied topology using combinatorial homotopy theory
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20K03607
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
田中 康平 信州大学, 学術研究院社会科学系, 講師 (70708362)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 脈体定理 / 位相的データ解析 / 単純ホモトピー論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
位相的データ解析にも応用が期待できる結果として，非凸領域上での被覆に対する脈体定理の一般化を行った．
凸領域上のボールの被覆については，三角形分割された単体複体と呼ばれる空間で近似するのが通常の脈体定理である．位相的データ解析ではこの性質を利用して，領域上に散らばるデータの分布状況を単体複体で近似し，そのホモロジー群を組合せ的に計算して分布の特徴を捉えてきた．しかし，領域の形状に穴が開いている場合などについては，脈体定理は適用できない．本研究の結果として，領域上の穴を許容するボール被覆について，単体複体よりも一般的なΔ複体によって近似可能な場合があることを示した．Δ複体は単体複体と同じく三角形で分割された空間であるが，単体の頂点を共有することができる点で単体複体の一般化となっている．
また組合せ的なアナロジーとして，圏の被覆について離散的な脈体定理を示した．これは頂点消去に基づく操作により，チェック複体から元の圏が再構築可能であることを示唆しており，計算アルゴリズムの構築にも貢献できることが期待される．さらに，基本群のみを持つような被覆に対しても，圏の普遍被覆を用いて新たな圏（チェック圏）を構成し，分類空間を通じて元の圏のホモトピー型を再構成することができることを示した．チェック圏の特徴としては，一方方向にのみ射が存在し，パラレルな射に対するある種の普遍性を満たしていることがわかる．この性質がチェック圏の本質であること，つまりそのような性質を持つ圏はすべてチェック圏で表せることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題における３つのテーマ（「位相的データ解析」，「ロボットモーション設計」，「センサーネットワークの数え上げ」）のうち，位相的データ解析の理論を発展できたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
効率的なロボットモーション設計の組合せ的アプローチを考える．同じ位置では固定されているモノイダルなモーション，局所的な領域で動作するパラメトライズモーションについて，計算方法を確立することを目指す．
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