2023 Fiscal Year Research-status Report
Study on applied topology using combinatorial homotopy theory
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20K03607
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
田中 康平 信州大学, 学術研究院社会科学系, 准教授 (70708362)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | Cone complex / Simplicial complex / Face category / Loop-free category / Poset |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，組合せ的ホモトピー論の枠組みとして「錐複体」という概念を導入した．古典的に，三角形を張り合わせて構成される単体複体はよく知られているが，群作用の商で閉じていないなど，様々な操作を行う上で不便さがあった．錐複体は単体複体の一般化であり，錐を張り付けて構成される．また，群作用の商で閉じているため，単体複体よりも幅広い操作が可能である．
特に小圏との対応が特徴的で，単体複体が半順序集合，Δ複体がループを持たない非輪状圏にそれぞれ対応するのに対し，錐複体は一般の小圏に対応することがわかった．具体的には，小圏の非退化なチェインを用いて，錐複体が構成され，さらに錐複体からは面圏とよばれる非輪状圏が構成される．これら２つの操作を続けることで，小圏の重心細分が得られることも示された．
錐複体の幾何学的実現は，全正規である星状複体が対応する．もともと，星状複体の組合せ的表現を与えることが動機であったので，錐複体を半順序集合の言葉で記述できたことは大きな成果であった．
錐複体の同値な概念として，各対象におけるコンマ圏が有限半順序集合になる小圏であることが，面圏をとる対応から導かれる．錐複体は半順序集合の張り合わせとして定式化したが，ある特別な圏として特徴づけられるという結果は予想しておらず，興味深いものであった．
また錐複体と小圏への群作用についても，脈複体と面圏をとる対応で，作用の条件がどう変化するのかを考察し，重心細分上に誘導される群作用の性質を詳しく記述することが可能になった．
これらの得られた結果は，論文にまとめ海外専門誌に掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
単体複体の概念を拡張し，群作用の商で閉じた組合せ的対象である錐複体を導入したことは，本研究課題目標への確かな前進であった．
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| Strategy for Future Research Activity |
今回導入した錐複体における，組合せ論的ホモトピー論の導入を目指す．また，群作用での商をとる前と後でのホモトピー型の関係性などを調べたい．
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| Causes of Carryover |
研究集会への参加が予定していたよりも少なかったため，次年度使用額が生じた．次年度使用額は，令和6年度請求額と合わせて研究集会を主催する際，講演者への旅費支払いに使用する計画である．
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