2020 Fiscal Year Research-status Report
Topology of the embedding spaces and the finite type invariants
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20K03608
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
境 圭一 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (20466824)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 埋め込みの空間 / Vassiliev不変量 / 配置空間 / グラフ / Operad / Gerstenhaber代数 / Hochschildホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Euclid空間の埋め込みで，コンパクト集合の外では標準的な包含写像に一致するものをlong embeddingと呼ぶ．本研究ではlong embedding全体のなす位相空間の性質をトポロジーの観点から調べている．当該年度には，long embeddingの空間のホモロジー群上に定義されるGerstenhaber代数構造について，Julien Ducoulombier氏(Max Planck Institute)との共同研究を進めた．
当該年度は，long embeddingの空間がある余単体的空間の全空間（以下，単に「全空間」と呼ぶ）として記述されることに着目し，全空間への小球のなすoperadの作用（これはMcClure-Smithによる）を具体的に書き下し，Gerstenhaber代数構造の具体的表示を得た．また，全空間のホモロジーと同型なホモロジーを持つHochschild型チェイン複体を定義し，その上にもGerstenhaber代数構造の候補を構成した．Bousfield擬同型を通じて，これら2つの代数構造が一致することを確認中である．以上のことは，定義域の次元が1であるようなlong embeddingについては研究代表者が過去に行ったものであり，その一般次元化である．
なお，本研究の当初の計画にもGerstenhaber構造についての言及があるが，Ducoulombier氏との共同研究を行うことは明記されていなかった．同様の計画を持っていた氏から共同研究の提案を受け，実施の運びとなった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
埋め込みの空間のトポロジーはしばしば自由ループ空間のトポロジーと類似する．自由ループ空間のホモロジー群は，ストリングトポロジーで研究されるような代数構造も込めてHochschild型のホモロジーで記述される．本研究で現在進めているのは，その事実の埋め込み空間版と言える．また1次元埋め込みの場合は研究代表者の過去の研究により完成している．以上のことから本研究で現在進めているテーマは成功する可能性が極めて高い．困難な部分はHochschild型のホモロジー群と，その上のGerstenhaber代数構造の定義であり，それはおおむね完了している．埋め込みの空間のホモロジー群とHochschildホモロジーの間のBousfield同型写像を見ると，両者のGerstenhaber代数構造が一致することもかなり明確に見通せる．以上のように，本研究で現在進めているテーマは最終目標に向かって順調に進展しているものと考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
最初に，long embeddingの空間のホモロジー群とHochschildホモロジー群がGerstenhaber代数の構造込みで同型であるという事実の証明を完成させる．これらのホモロジー群の元の一部は配置空間積分を通してVassiliev不変量と対応すると考えられるため，ホモロジー群の代数構造を調べることは本研究の目的に沿うものである．
次に共同研究者であるDucoulombier氏の過去の研究成果を使って，上で述べたことの「相対版」を行う．具体的には，埋め込みの空間とその部分空間を念頭に，余単体的空間の対に対して"Swiss cheese operad"の作用を考え，その作用が導くホモロジー群上の代数構造について，相対Hochschildホモロジーとよぶべきものを使って記述する，ということを目標としたい．これは本研究の当初の計画にはなかったものであるが，絡み目の空間など，より広いクラスの埋め込みの空間への応用を持ち，本研究の対象を拡大するという意味で重要なものであるため，この方向での研究を進めることとしたい．
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| Causes of Carryover |
予定していた旅費を使用できなかったことが理由である．これは，新型コロナウイルスの世界的な蔓延により，国内外の研究集会やセミナーが中止もしくはオンライン開催となったこと，また遠方への移動が制限されたことが原因である．2021年度中に状況が改善し研究集会などに参加できることになった場合は，そのための旅費として使用したい．特にまとまった額の旅費を使えることになるので，共同研究中のDucoulombier氏を訪問する，もしくは氏に来日を願う際の旅費として使用する．また氏との共同研究を行うにあたり本研究の対象も拡大したため，必要な知見を得るための書籍購入にも使用する．
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Research Products
(1 results)
