2021 Fiscal Year Research-status Report
Topology of the embedding spaces and the finite type invariants
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20K03608
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
境 圭一 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (20466824)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 埋め込みのなす空間 / Vassiliev不変量 / 配置空間積分 / グラフ / operad / 多重ループ空間 / Hochschild複体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
引き続き，"long embedding"と呼ばれる埋め込みのなす位相空間のトポロジーについて研究を続けている．2021年度は，主に次の2つの研究を行った．
(1)加納早貴氏（信州大学（当時））との共同研究で，3次元Euclid空間内の1次元（枠つき）long embedding (long knot) のなす空間の1サイクル，1コサイクルについて研究を行った．研究代表者が過去に構成した，配置空間積分により非3価グラフから得られる1コサイクルを，Fox-Hatcherサイクルと呼ばれる1サイクルの上で積分することで，枠つきlong knotの不変量が得られる．この不変量が次数3のVassiliev不変量であることを加納氏との共同研究で示し，その後研究代表者が当該の不変量を既知の不変量を使って書き表すことに成功した．配置空間積分により3価グラフからVassiliev不変量が得られることは既知であるが，非3価グラフからもVassiliev不変量が得られるという事実も研究代表者の過去の業績を含めていくつか知られており，今回の結果は新たな例を加えた形になる．この成果は論文にまとめて学術誌に投稿中である．
(2)Julien Ducoulombier氏(Max Planck Institute)との共同研究で，Hochschild複体の変種にGerstenhaber構造を導入する研究を進めた．Hochschild複体へのlittle disks operadの作用を構成し，その系としてG-構造の存在を示すことに成功した．このHochschild複体は，あるlong embeddingのなす空間のホモロジーを計算するスペクトル系列のE_1項として現れるもので，埋め込み側では存在が知られているG-構造との関連の解明が今後の課題であり，その点と「相対化」が完成した時点で投稿予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
埋め込みのなす空間のトポロジーとVassiliev不変量の関連が本研究の大きなテーマである．Long knotの空間の1サイクル・1コサイクルに関する研究からVassiliev不変量の情報を抽出できたことは，本研究の目的から見て非常に意義深いことである．今回の結果により，(a)配置空間積分により得られるコホモロジー類の情報のうち，Vassiliev不変量が占める割合がどの程度なのか，(b)高次元の埋め込みの場合にも同様の枠組みが考えられるのか，といった問題が自然に生じる．この意味で，今回の成果は新たな研究成果の可能性を広げるものとも言える．
Long embeddingの空間のトポロジーがVassiliev不変量と関連を持つことは確からしく思えるが，それだけにlong embeddingの空間の（コ）ホモロジーの代数構造は，Vassiliev不変量の代数的な性質を考える上で重要である．Hochschild複体はlong embeddingの空間の（コ）ホモロジーを具体的に計算する上で有用なものと考えられ，その上にGerstenhaber構造のような代数構造が定義できたことは有意義な成果と言える．しかも今回の成果はlittle disks operadの作用により導かれるもので，単にホモロジーのレベルでG-構造を定義するというよりも強く，複体そのもののホモトピー論的な性質（多重ループ空間に類似した性質）に迫るものである．
これらのような評価により，本研究は「おおむね順調に進展している」と評価した．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後もlong embeddingの空間のトポロジーとVassiliev不変量の関連を研究する．
配置空間積分によりグラフから構成されるコホモロジー類については，グラフが3価でない場合，非自明性を含めて未解明の性質が多い．3次元Euclid空間の1次元long knotの場合は，GramainサイクルやFox-Hatcherサイクルと呼ばれるサイクル上での積分によりVassiliev不変量との関連を示し，系として非自明性を示すことができた．これらは高次元の場合にはlittle disks operadの作用から導かれるGerstenhaber代数構造と関連することがわかっている．こうした具体的なサイクル上での積分を計算する方法を一般的に考えることにより，コホモロジー類の非自明性を示すとともに，Vassiliev不変量との関連を解明することを目指したい．
Hochschild複体の研究については，long embeddingの空間の特異チェイン複体からHochschild複体へのBousfield写像がlittle disks operadの作用と協調することをまず示したい．これらへの作用は具体的に記述できるものであるので，証明は可能であると思われる．Little disks operadの作用が存在することは，これらが多重ループ空間（の代数的な類似）であることを意味するが，これを「相対ループ空間」に拡張した「相対版」の研究を進めたい．これはAlexandre Quesney氏の仕事を参照することで可能となると考えている．「相対化」が達成されると，共同で研究を進めているDucoulombier氏の過去の研究により，絡み目のなす空間などへの応用が期待される．
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス感染拡大による影響で，国内外の学会や研究集会への出張がほぼ不可能となり，また外部の研究者を招いて研究連絡を実施することもできなかったため，旅費の執行ができなかったことが主な理由である．2022年度は，可能であれば国内外の出張を再開させるとともに，オンラインと対面のハイブリッド型研究集会を企画して外部の研究者に知識供与を願い，そのための謝礼としても使用することを計画している．
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