2020 Fiscal Year Research-status Report
Surface group representations and geometry of negative curvature
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20K03610
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
馬場 伸平 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40822870)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | リーマン面 / 双曲幾何学 / 指標多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
負曲率一定のリーマン幾何の構造（双曲構造）活発に研究されている幾何構造であり、特に２次元、３次元の（実）多様体の分類で重要な役割を果たしている。古典的な定理であるBers‘ simultanuous uniformization theormは，３次元多様体の双曲構造をリーマン面の構造を結びつける基礎的な定理である。実際Thrustonによる革命的な３次元双曲多様体の仕事の土台となっている。このBersの定理は，曲面の基本群からPSL(２，C)の典型的な離散で忠実な表現である、擬フックス表現の空間と、対応する三次元双曲多様体の理想境界上のリーマン面の構造の空間に良い１対１対応を与えている。
私はこの定理を，より一般の離散とは限らない表現への部分的な一般化を証明した。この私の発見は，Bersの定理を複素射影構造の観点からの新たな視点で解析することにより得られた。より具体的には，曲面上の同一のホロノミー表現を持つ複素射影構造の組みの空間を新たに導入し，その空間とリーマン面の構造の組みの空間の対応に関し，ある種の局所的および大域的な性質を証明した。リーマン面を固定した時の複素射影構造全体の空間は，そのリーマン面上の２次正則微分のベクトル空間と同一視できる。曲面の基本群からリー群PSL(２、C)の表現全体の空間は、指標多様体と呼ばれ，先程のベクトル空間は指標多様体にproperに埋め込めれている。私は２つの異なるRiemann面に対する，埋め込みの像の交わりが，離散集合であることを示し、その応用のとしてBersの定理の一般化を与えた。
この証明には，リーマン幾何，双曲幾何学，リーマン面の幾何学，リー群の理論など，様々な要素の関連を使用している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Bers‘ simultanuous uniformization theoremの部分的な一般化をすることができ、結果をプレプリントにまとめることができたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の結果のさらに応用，発展する。また、他の関連した研究も進める。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため，海外出張などの旅費の使用ができなかった。
本年度はコンピューター環境の整備，書籍購入など研究に必要な物品購入，および研究活動に必要な出張を行うために助成金を使用する予定である，
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