2021 Fiscal Year Research-status Report
Surface group representations and geometry of negative curvature
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20K03610
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
馬場 伸平 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40822870)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 曲面群の表現 / 双曲幾何学 / 指標多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面群と負曲率の幾何に関連した以下に述べる２つの結果を得た。これらを論文にまとめ，プレプリントとしてarXiv上で一般に公開した。また，これらの結果を研究集会などで講演した。
まず３次元の多様体の分類において，双曲多様体を理解することは重要である。３次元のgeometrically finiteな双曲多様体は，理想境界のRiemann面の構造によってパラメラー付されることがよく知られている。これに類似したパラメター付を、双曲多様体のconvex core上のmeasured laminationによりできるという予想が未解決問題であるBonahonとOtalはこの予想の解決向けて，大きな貢献をしている。本年度の研究で大鹿健一氏との共同研究に別の視点から，より位相幾何学的なアプローチを与えた。特により一般のgeometrically infiniteな曲面群に既存の結果を拡張させた。
次にRiemann面上の2次正則微分の空間は、有限次元の複素ベクトル空間をなす。このベクトル空間は，対応する複素射影構造のホロノミーにより，基本群のP S L(２, C)への表現空間，つまりP S L（２，C）指標多様体に真に解析的に埋め込まれている。この像はPoincare Holonomy Variety またはsl（２，C)-operと呼ばれ，双曲幾何学などの関係から重要な複素解析的部分多様体である。私は，このholonomy varieties類似をThurstonによる複素射影構造のパラメター付の観点からP S L（２，C）指標多様体に構成した。また，Thurston のパラメター付は実解析的な部分多様体を与えることから，これの複素化を行った。そのために曲面群のP S L（２，C）の直積への表現のbending変形を導入した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
双曲幾何学と曲面の表現の関係に関して，新たな視点を与える結果を複数得て，論文にまとめることが出来たため。
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| Strategy for Future Research Activity |
曲面の基本群のLi群への表現，双曲幾何学に関して，新しい観点から理解を一層深める。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で，海外出張を含め，対面の研究集会参加を行うことがほとんどできなかったため。
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