2020 Fiscal Year Research-status Report
Structural stability problem of real algebraic maps and its application
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20K03611
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| Research Institution | Hyogo University of Teacher Education |
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Principal Investigator |
小池 敏司 兵庫教育大学, その他部局等, 名誉教授 (60161832)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 構造安定性 / ナッシュ写像 / 部分解析的集合 / ジェットの十分生 / 結構次元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前半２年における本研究の第一目標は、実代数的写像の構造安定性定理（より詳しくは、ナッシュ多様体間のナッシュ写像に対するナッシュ構造安定性定理）の解決に努めることにある。つまり、ナッシュ構造安定性における結構次元を決定することにある。当該年度（最初の一年目）における研究では、この目標に対する部分的解決を行った。実際に、定義域のナッシュ多様体だけでなく行き先のナッシュ多様体もコンパクトであるという仮定のもとに、ナッシュ構造安定性の結構次元が、近年、塩田昌弘氏達によって決定された実解析構造安定性における結構次元に一致することを示した。
R.Thom は、コンパクトで滑らかな多様体から滑らかな多様体への滑らかな写像に対する無限回連続的微分可能構造安定性定理と位相構造安定性定理を確立するために必要になる、証明の枠組みや新しい道具の開発、概念の導入などを行った。その中に、局所安定性を示す上で重要な概念の「ジェットの十分性」がある。そのジェットの十分性を特徴付けるものに、Kuo 数量と Thom 数量があるが、研究協力者の K.Bekka 氏との共同研究において、それらの数量が同値であることを示し、日本学士院のプロシーディングより出版した。
本研究の後半２年に目標としている課題は、実解析多様体間の実解析写像に対する部分解析的構造安定性問題の解決に努めることにある。その研究の前提となる課題として、研究協力者の L.Paunescu 氏との共同研究において、部分解析的集合の幾何学的方向束の安定化問題に取り組み、解決した。その結果は共著論文としてまとめており、投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上の「研究実績の概要」蘭でも述べたように、当該年度においては、最初の２年間の研究目標である実代数的写像の構造安定性定理の確立に対し、行き先の多様体のコンパクト性の仮定のもとでの部分的解決を行った。また、局所安定性に関係して、Kuo 数量とThom 数量の同値を K.Bekka 氏と示す一方、本研究後半の目標である実解析写像の部分解析的構造安定性問題に関係して、部分解析的集合の幾何学的方向束の安定化問題に L.Paunescu 氏と取り組み解決した。
外国人研究協力者達との二つの成果は、電子メールのやりとりを通した共同研究でなされたものである。一方、最初の第一目標の研究については、非常に微妙なニュアンスを含む問題でもあり、二人の外国人研究協力者達との相互訪問を通して共同研究を進めて行く予定であった。しかし、新型コロナ流行のために相互訪問ができず、当該年度は一人で進めることになった。本研究の後半の研究目標に係わる内容まで進めることができた半面、前半の第一目標に対する、外国人研究協力者達との相互訪問による共同研究ができなかったことも考慮に入れ、おおむね順調に進展しているとした。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究前半の２年目は、実代数的写像の構造安定性問題に対して、前年得られた部分的解決の結果から、行き先の多様体のコンパクト性をはずす全面的解決のための研究を行う。「理由」蘭でも述べたように、外国人研究協力者達との相互訪問が可能になれば、共同研究を通して進めることになる。
また、実代数的写像の構造安定性定理の研究に関連して得られた結果を、安定写像を通した可微分多様体のトポロジーの研究分野に応用する研究を、本研究期間を通して行う。特に、特異点論の方面から、可微分多様体のトポロジーの研究を行っている研究者達との議論を通して、問題意識や応用のためのヒントを得ながら進めるつもりである。
前半の研究目標である実代数的写像の構造安定性定理を全面的に示すことができた後は、実解析写像の部分解析的構造安定性問題の解決に取り組む。この問題には層化理論の手法を本質的に用いる必要があることから、層化理論の専門家である K.Bekka 氏と、また、部分解析的集合の幾何学的方向束の安定化問題を一緒に解決した L.Paunescu 氏との共同研究を通して進めることになる。
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| Causes of Carryover |
当該年度の使用予定額の大半は、本研究を海外研究協力者達と相互訪問を通した共同研究を行うための海外渡航費、本研究を進める上でのヒントやアイデアを得るために、関連する国内研究集会への参加・発表や関連分野の人達が多くいる大学への訪問のための国内出張費といった旅費に充てることになっていた。しかし、新型コロナ流行のためにいずれの出張もできなくなり、旅費を全く使用できなかった。当該年度に使用できなかった旅費については、翌年度の分とも合わせ、新型コロナが終息し次第に、海外研究協力者達との相互訪問のための海外渡航費、国内研究集会への参加・発表や関連大学訪問のための国内旅費として用いる。また、学外の人達から本研究に必要な専門的知識を得るための人件費・謝金や学外へ出向いての資料収集の目的のためのその他の予算も、新型コロナ流行のために使用できなかった。これらについても、翌年度分とも合わせ、新型コロナ終息の後に使用する。
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