2021 Fiscal Year Research-status Report
指標多様体上の幾何と写像類群作用を用いた算術的クライン群の分類
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20K03612
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 双曲幾何学 / クライン群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面Σの基本群πからリー群Gへの表現全体の空間Hom(π,G)には群Gが共役により作用する。この作用による幾何学的不変式論の意味での商空間Xを指標多様体という。この指標多様体を、表現の像が離散群になる部分とそうでない部分に分割すると、前者はΣのG構造の変形の空間とみなすことができる。特にGがSL(2,C)の場合は双曲幾何構造の変形空間であり、重要な研究対象である。特に離散部分群はクライン群とよばれ、重要な研究対象である。また、指標多様体には曲面Σの写像類群が自然に作用し、この作用の複雑さによっても指標多様体は2つに分割される。これら2つの関係は未解明な部分が多い。
今年度は、SL(2,C)の部分群で楕円型の元2つによって生成されるクライン群で、算術的とよばれる条件をみたすものの分類のための研究を継続した。楕円型の元はその位数で特徴づけることができるが、特に位数が6以下の場合において、どのような算術的クライン群が存在しうるかについて、計算機を用いた実験を継続した。クライン群は指標多様体のパラメータを用いて記述され、それが算術的になるためにはそのパラメータが代数的整数であって四元数代数等に関する一定の条件をみたす必要があることが知られている。さらに、指標多様体上の写像類群作用に関して、BowditchのQ条件というものをみたさなければならないことが予想されている。そのため、これらに関する計算機実験を様々なパラメータについて進めることで、算術的クライン群の完全分類に向けた候補を与えるための研究を進展させた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでSL(2, C)の部分群で楕円型の元2つによって生成されるクライン群で、算術的と呼ばれる条件をみたすものの分類のための研究を行った。楕円型の元はその位数で特徴づけることができ、特に位数が2,3,4の場合の研究をこれまで行ってきたが、これを進めて5,6の場合において、どのような算術的クライン群が存在し得るかについて、計算機を用いた実験を進展させることができた。
クライン群は指標多様体においてトレースを用いたパラメータで記述され、それが算術的なものに対応するためには、そのパラメータが代数的整数であって、四元数代数等に関する一定の条件をみたす必要があることが知られている。さらに、指標体上の写像類群作用に関して、BowditchのQ条件とよばれるものをみたすことが予想されている。これらに関する計算機実験を、位数が5, 6の場合において進展させることができたため、研究は概ね順調に進呈していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初予定していた計算機実験は進展しつつあり、これによって得られた算術的クライン群の候補について、理論的な検証をさらに進めることが今後の研究の推進の中心となる。理論的な検証を進めるためには、得られたクライン群の幾何的な記述である基本領域を計算することを通じて、双曲多様体の記述を与えることが次のステップにナルト考えている。
この方向で研究を進展させるため、基本領域を与えるためのいくつかの方法についてさらなる検討を行い、そこで選択した方法を用いて計算を実行するための作業を行って行く。
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| Causes of Carryover |
計画していた海外出張を含め、旅費の執行がコロナ禍のために実施できなかったため、次年度繰越額が発生しました。部分的にweb会議システム等の方法を用いて、当初計画した物品の購入と合わせた使用を計画しています。
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Research Products
(1 results)
