2020 Fiscal Year Research-status Report
Geometric structures and combinatorial structures of 3-dimensional manifolds
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20K03614
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
作間 誠 大阪市立大学, 数学研究所, 特別研究員 (30178602)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
古宇田 悠哉 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (20525167)
秋吉 宏尚 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80397611)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | homotopy motion / Heegaard surface / mapping class group / Haken manifold |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Braid group の一般化として導入された多様体 M 内のコンパクト部分集合 S に対する motion group の概念を弱めた homotopy motion group P(M,S) を導入した．この群は S の写像類群への自然な準同型をもち，その像 G(M,S) 及び核 K(M,S) を考えることができるが，M が有向閉３次元多様体，S がヘガード曲面の場合は，Minsky により提案されていた群 V(M,S) を部分群として含む．３次元多様体内の曲面に対して上述の群を組織的に調べ，以下の結果を得た．
(1) ハーケン多様体内の圧縮不能曲面の homotopy motion group および非球面的有向閉３次元多様体内のホモトピー的に自明な曲面の homotopy motion group の完全決定．
(2) 非球面的有向閉３次元多様体のヘガード曲面に対する群 K(M,S) および球面構造を持つ有向閉３次元多様体のヘガード曲面に対する群 K(M,S) の決定．
(3) 非球面的有向閉３次元多様体のオープンブック分解に付随するヘガード曲面に対しては，群 V(M,S) が群 G(M,S) の真部分群になることの証明．
本研究は，Donghi Lee との共同研究により得た２橋絡み目の２橋球面に関する諸結果をどこまで一般化できるかという問題意識から生まれたプロジェクトであるが，研究成果（3）はその問題への直接的に寄与するものである．なお，以上の研究は研究分担者・古宇田悠哉氏との共同研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Homotopy motion group という自然な概念を導入し，それに関して，極めて具体的な研究成果を挙げたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
３次元多様体内の曲面に対する Homotopy motion group の組織的研究をさらに推進する．特に，次の問題に重点を置いて研究を推進する．
(1) ヘガード曲面に対する群 G(M,S) とその部分群 V(M,S) の差異はオープンブック分解から生じるものに限るか？ 特に S の Hempel 距離が十分大きいときは，この2つの群は一致するか？また V(M,S) はその2つの自然な部分群の自由積になるか？
(2) 既約でない有向閉３次元多様体のヘガード曲面に対する群 K(M,S) の構造の研究．
(3) Virtual branched fibration theorem に登場する V(M,S) の元の族の曲線複体への作用の最小移動距離（あるいは漸近的最小移動距離）と ヘガード曲面 S の Hempel 距離による評価の研究．
また，昨年度は十分な研究時間を確保できなかったが，申請書で説明した「橋構造の観点からの２橋結び目の空間」の研究にも復帰したいと願っている．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスのため予定していた出張および研究集会が全て中止になたため次年度使用額が生じた．今後の状況を見て，出張および研究集会の開催を検討する．
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