2021 Fiscal Year Research-status Report
Geometric structures and combinatorial structures of 3-dimensional manifolds
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20K03614
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
作間 誠 大阪市立大学, 数学研究所, 特別研究員 (30178602)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
古宇田 悠哉 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (20525167)
秋吉 宏尚 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80397611)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 強可逆結び目 / 不変ザイフェルト曲面 / 同変ザイフェルト種数 / 交代結び目 / ２橋結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１） 強可逆結び目の不変ザイフェルト曲面の組織的研究を行った．周期結び目に対してはEdmondsにより周期写像で不変な最小種数ザイフェルト曲面が存在する事が示されていたが，強可逆結び目に対しては一般にそのような事は成立しない．与えられた任意の強可逆結び目に対して，内部が交わらない２枚の最小種数ザイフェルト曲面で，強可逆対合により入れ替わるものが存在し，しかもその２枚の最小種数ザイフェルト曲面が囲む２つの領域のそれぞれの中に，（対応するマークを含む）最小種数不変ザイフェルト曲面が存在することを証明した．この一般的な定理を用いることにより，２橋結び目が定める全てのマーク付き強可逆結び目に対して，同変種数（強可逆性を与える対合で不変なザイフェルト曲面でマークを含むものの最小種数）を決定した．特に，その結果の系として，通常の種数とマーク付き強可逆結び目の同変種数は，”完全に独立”であることを導いた．（平澤美可三，日浦涼太との共同研究）
（２）双曲的交代結び目のチェッカーボード曲面を結び目補空間内の曲面とみなし，結び目補空間の普遍被覆空間における逆像を考えると，各連結成分は無限遠球面の上のジョルダン閉曲線を定める．交代結び目補空間の非正曲率 cubing を用いることにより，それらのジョルダン閉曲線の交わりのパターンを組み合わせ的に記述する方法を与えた．応用として，２橋結び目群の２元生成メリディアン部分群に関するAgolのアナウンスを解明した．（坂井駿介との共同研究）
（３）２年間休止していた研究集会「Branched coverings, Degenerations, and Related Topics」を完全オンラインで実施した．（3月7日ー8日）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
強可逆結び目と交代結び目の研究において行っての研究成果を上げる事ができ，またオンラインではあるが２年間休止していた研究集会を再開できたため，概ね順調に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）非正曲率 cubing を用いた交代結び目の研究をさらに推し進め，チェッカーボード曲面から作られる無限遠球面上のジョルダン曲線の交わりのパターンのより深い理解を目指し，交代結び目ダイアグラムのフライプの影響を調べる．
（２）この２年間は十分な研究時間が取れなかったが，申請書で説明した「橋構造の観点からの2橋結び目の空間」の研究にも復帰したい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスのため予定していた出張および研究集会が全て中止になたため次年度使用額が生じた.今後の状況を見て，出張および研究集会の開催を検討 する.
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Research Products
(7 results)
