2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K03617
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
國分 雅敏 東京電機大学, 工学部, 教授 (50287439)
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2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 微分幾何 / 平坦 / 波面 / 対称性 / 正則性 / 特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度においては，単著論文「Flat fronts with polyhedral symmetry in hyperbolic three-space」を執筆し，学術誌 Journal of Geometry, Vol.113, No.1（オンライン版2022年2月22日）への掲載に至った．正多面体と同様の幾何的対称性をもつ平坦波面について研究し，それらの特徴づけや具体的な表示式を示したものである．波面は広義の正則性をもつ曲面の例と言える．正多面体は，面の数が4,6,8,12,20 の5種類あるが，論文で得られた平坦波面もそれぞれに応じて5種類ある．合同変換の対称性の一致に加え，頂点数とエンド数が一致する等の幾何的類似性を持つ．
それに関連して，研究成果の口頭発表を2件行った．「On flat fronts with symmetry」Workshop on Surface Theory (2022年3月5日，於横浜) および「Flat fronts in hyperbolic three-space and related topics」, 日本数学会本会 幾何学分科会特別講演（於埼玉大学）である．後者については，学会自体の対面開催が中止されたため，予稿集の提出をもって成立とされた（日本数学会の HP 参照．）なお，日本数学会幾何学分科会幹事より，2022年度中に講演の機会を設ける方向との連絡をいただいている．
また，投稿中の共著論文「Analytic extensions of constant mean curvature one geometric catenoids in de Sitter 3-space」について，査読者の肯定的な助言に基づいていくつかの修正を施し，再投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題に取り組んで2年目となるが論文執筆・出版することができた．また，次に取り組むべき課題となるような題材を得ることができている．具体的には，双曲型空間の正多面体的対称性を有する平坦波面を研究した際に，更に多様な対称性に関する平坦波面の研究についての課題である．これらの理由により，研究はおおむね順調に進んでいると自己評価する．
一方，研究課題名にもある「広義正則」に関する基礎的な部分の研究については，連携研究者とのディスカッションに留まっている．とはいうものの，方向性など主要な部分は見えており，詳細を詰めることなどの研究を継続中である．
なお，今年度も昨年度に引き続き，新型コロナに対する感染予防対策等の理由で，研究打合せや学会出張等が制限されてしまったこともあり，当初の研究計画を推進できなかった部分があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず研究に対するエフォートをコロナ以前の水準に戻せるように努める．また，バイアウト制度の活用も検討したい．そのうえで次の３つのテーマに取り組むことを重点としたい．
（１）対称性をもつ平坦波面のなかでも，単周期的，二重周期的対称性をもつものについて研究を進める．
（２）一般的な仮定の下で，解析的曲面の解析的完備性（解析的極大性）について研究を進める．ここで述べた一般的仮定とは，定曲率計量の入った多様体に限
らず，より一般の実解析多様体及びそれを一般化したものである．
（３）Bernstein 型定理の，特異点を許容した場合への一般化の可能性を探求する．
他の研究者とのディスカッションや共同研究は，依然オンラインが中心となると予測されるが，状況を見極め，可能ならば対面型の取り組みも行いたい．
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| Causes of Carryover |
令和2年度に引き続き令和3年度も，当初計画していた研究打ち合わせや学会・シンポジウムが延期や中止もしくはオンライン開催となった．そのため，旅費の支出が全くなかった．次年度については，いくつかの学会・シンポジウム等については今後対面開催が期待される，それらへの参加のための旅費に使用したい．また，研究に従事できる時間の確保のため，バイアウト制度の活用も検討したい．
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