2023 Fiscal Year Research-status Report
Analyzing the topological properties of the knot contact homology by use of the ghost characters of knots
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20K03619
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
長郷 文和 名城大学, 理工学部, 教授 (30513634)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 結び目群 / トレースフリー指標多様体 / ノットコンタクトホモロジー / 2重分岐被覆 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，結び目群のSL(2,C)トレースフリー表現に対し，そのトレースフリー指標多様体の幾何構造を通して，ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の完全解明を目指している．
本研究4年目では，3年目までの研究成果を基に，結び目KのノットコンタクトホモロジーHKと3次元球面の結び目に沿った2重分岐被覆ΣKの指標多様体YKとの同型対応を提案しているNg予想について，別の角度からのアプローチを行うことで，ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の深化を試みた．Ng予想は，一見，結び目Kを変数とする2つの対象の同型対応を提示しているように見えるが，少し視点を変えれば，YKとYK'が同型である場合，例えば，3次元球面のKに沿った2重分岐被覆ΣKと，同じくK'に沿った2重分岐被覆ΣK'が同相になる場合，HKとHK'は同型になるということを提案するものになっている．つまり，ノットコンタクトホモロジーは，3次元球面の2重分岐被覆の不変量になることを主張する．この視点に立ち，3次元球面の2重分岐被覆が同相になるペアについて，ノットコンタクトホモロジーが同型になるかを確かめる研究を遂行した，ここでは，同相な2重分岐被覆を与える結び目として古典的に知られているモンテシーノス結び目とトーラス結び目について，そのトレースフリー指標多様体から，ノットコンタクトホモロジーを計算するという手法を用いた．その結果，ΣKとΣK'は同相だが，ノットコンタクトホモロジーは同型ではないという結び目のペア(K,K')を発見した．これは，Ng予想の別の反例を与えることにもなっている．これらの成果は，東北結び目セミナー2023で講演し，いくつか重要な議論を行うことができた．ただし，本研究は未だ完全解明の最終段階に達していないと判断し，研究期間を延長することで，これらの成果のさらなる深化を試みる予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
「研究実績の概要」にも述べたように，本研究4年目では，Ng予想の別の反例を与えることに成功したが，本研究は未だ，ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の完全解明の最終段階には達していないと判断できるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」にも述べたように，本研究4年目では，Ng予想の別の反例を与えることに成功したが，本研究は未だ，ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の完全解明の最終段階には達していない．多様体のトポロジカルな性質を用いたノットコンタクトホモロジーの計算例がほとんどないことが，その判断ができる大きな理由である．もちろん，多様体のある種の幾何構造を用いたノットコンタクトホモロジーの解釈は存在するが，それが，多様体のトポロジーにどのような制約を与えるのか，また逆に，どのような多様体のトポロジーを反映しているのかは，解明されていない状況である．
本研究では，結び目のトレースフリー指標多様体の計算機援用による導出を経由して，ノットコンタクトホモロジーを計算する手法を適用していたが，今後は，結び目や多様体のトポロジカルな性質を用いて，ノットコンタクトホモロジーを計算する手法の開発を試みる，これにより，ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の完全解明に迫りたい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の流行が続く中，研究代表者の体調不良により，予定していた国内外の研究集会への参加をいくつか見送ったことが，次年度の使用額が生じた大きな理由である．次年度に，研究集会参加等にて計画的に使用予定である．
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