2020 Fiscal Year Research-status Report
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20K03621
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
中村 拓司 山梨大学, 大学院総合研究部, 教授 (60382024)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 仮想結び目 / 交差多項式 / ねじれ多項式 / 連結和 / 交差交換 / 仮想化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は結び目の幾何的性質と代数的不変量の関係を局所変形の観点から明らかにすることである．特に多項式不変量と局所変形の関係の解明や，局所変形を通した新しい代数的不変量の開発を課題としている．
本年度は主に神戸大学の比嘉隆二氏，中西康剛氏，佐藤進氏との共同研究において，仮想結び目の新しい不変量である交差多項式（第一交差多項式，第二交差多項式，第三交差多項式）を定義し，その性質を研究した．仮想結び目にはねじれ多項式という不変量がある.仮想結び目図式の各実交点にはインデックスという整数値が与えられる．各実交点に対し，そのインデックスを指数，その符号を係数とする項を作り，すべての実交点に関する和を取ってできる多項式がねじれ多項式である．この拡張として，実交点対に対しある種の交差数を考え，それを指数，その実交点対の符号の積を係数とする項を作り，すべての実交点対に関する和を取ってできる多項式（に補正を加えたもの）が交差多項式である．この交差多項式の性質を調べ，応用として，特徴付けと実現問題，対称性との関係，仮想結び目の連結和公式などを得た．局所変形との関連では，第一交差多項式と第二交差多項式から仮想結び目の交差交換に関する新たな不変量を抽出した．これは閉曲面上の閉曲線の不変量を得たことを意味している．また，実交点の仮想化という局所変形に対し，これまでの研究で構成した１回の仮想化でほどけ，Jones多項式の一般化である宮澤多項式が自明であり，ねじれ多項式も自明であるような仮想結び目族の非自明性を交差多項式で示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の概要に書いたように，仮想結び目の多項式不変量として，これまでにない新しいものを開発した．計算も比較的容易にできるため，局所変形との関連も含め，今後も大いに進展する可能性を持つ対象であると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて、今後の研究の方針を次のように考えている。
（１）通常の結び目について，パス変形に関するConway多項式の実現問題について研究する．これは本研究課題の核になっている問題である．
（２）交差多項式と局所変形の関連を研究する．交差多項式を変えない局所変形の開発やある局所変形の不変量を交差多項式から抽出し，他の不変量との関連を調べる．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍において，出張予定だった研究集会やセミナー等がオンラインで開催されたため，出張旅費を使用しなかった．この分は，オンラインでの共同研究・セミナー参加等の充実に係る機器の購入や事態が好転した場合の出張旅費などで使用する計画である．
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