2022 Fiscal Year Research-status Report
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20K03621
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
中村 拓司 山梨大学, 大学院総合研究部, 教授 (60382024)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 仮想結び目 / 交差多項式 / 4-変形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は結び目の幾何的性質と代数的不変量の関係を局所変形の観点から明らかにすることである．特に多項式不変量と局所変形の関係の解明や，局所変形を通した新しい代数的不変量の開発を課題としている．
本年度は主に，神戸大学の比嘉隆二氏，中西康剛氏，佐藤進氏との以前の共同研究において得られた仮想結び目の新しい不変量である交差多項式の性質と局所変形の関係について研究した．仮想結び目には、図式の各実交点にインデックスという整数値を与え，各実交点で，そのインデックスを変数tの指数，その符号をtの係数とする項を作り，すべての実交点での和を取ってできるねじれ多項式という多項式不変量がある. この拡張として，各実交点対に対しある種の交差数を考え，それを指数，その実交点対の符号の積を係数とする項を作り，すべての実交点対での和を取ってできる多項式（に補正を加えたもの）が交差多項式である．この交差多項式と局所変形との新たな関連として，4-変形と呼ばれる局所変形での交差多項式の変化を研究した．4-変形は古典的結び目理論においても注目すべき局所変形である．実際に4-変形で移りあう二つの仮想結び目の交差多項式は同じ指数を持つ項の係数の偶奇が一致することを示した．この性質はねじれ多項式も持つことが知られている．ねじれ多項式では各係数の偶奇が一致する二つの仮想結び目でも，交差多項式では偶奇が一致しない例が確認されるため，ねじれ多項式では分からなかった4-変形で移りあわないペアとなることが分かる．この結果は現在，論文にまとめている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
仮想結び目における局所変形の話題について，以前の共同研究で定義した交差多項式に関する応用研究で結果が得られた．交差多項式は計算も比較的容易にできるため，他の局所変形との関連も含め，今後も大いに発展する可能性を持つ研究対象と考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて，今後の研究の方針を次のように考えている．
（１）引き続き本研究課題の核になっているパス変形の問題に取り組む．古典的結び目のパス変形に関するConway多項式の実現問題について，高木-中西の例を精査し，新たな例の構成や一般化を図る．パス変形に関する結び目全体の集合の構造解析に取り組む．
（２）交差多項式について，4-変形以外の局所変形での変化を調べるとともに，交差多項式を変えないような局所変形の開発を行う．
（３）3次元多様体を表す仮想結び目図式上の局所変形とこれまでに得られたリザンドル彩色不変量との関連を研究する．
（４）宮澤多項式の(Aの多項式)x_ix_jx_kという形の項と対応する局所変形を開発し，サポート種数との関係（評価）を調べる．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍において，出張予定だった研究集会やセミナー等がオンラインで開催されたため，出張旅費をほとんど使用しなかった．オンラインでのセミナー等は利点もあるため，この分は，オンラインでの共同研究・セミナー参加等の充実に係る機器の購入などに，またコロナ禍の状況を踏まえ出張旅費などで使用する計画である．
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