2022 Fiscal Year Research-status Report
Non-Vaisman LCK structures on solvmanifolds
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20K03622
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| Research Institution | National Institute of Technology(KOSEN),Numazu College |
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Principal Investigator |
澤井 洋 沼津工業高等専門学校, 教養科, 准教授 (70550482)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 複素多様体 / 可解多様体 / べき零多様体 / 局所共形ケーラー構造 / Vaisman 構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
局所共形ケーラー構造において、そのリー形式がレビ・チビタ接続に関して平行となるとき、ヴァイスマン構造という。ヴァイスマン構造をもつ可解多様体には構造定理があり、4 次元局所共形ケーラー可解多様体も分類がされている。そして、4 次元可解多様体である井上曲面は、非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造をもつ典型的な例である。なお, 一般の非ヴァイスマンな局所共形ケーラー多様体について、4 次元可解多様体以外の例は知られていない。また、井上曲面は、 2 ステップべき零多様体といわれる, 比較的トーラスに近いべき零多様体の 1 次元拡張で与えられる可解多様体である。
このような背景のなかで、本年度は以下の成果が得られた：
2 ステップべき零多様体を 1 次元拡張し、この可解多様体が非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造をもつならば、上述の井上曲面となることを示した。証明方法は、まず、非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造のリー形式を決定した。そして、複素構造に関する非ヴァイスマンな局所共形ケーラー構造をもつための必要な条件を求め、これとユニモジュラー条件から、上記の成果を得た。
上記の意義・重要性は以下の通り：
6 次元局所共形ケーラー可解多様体について、ヴァイスマン型は分類されているものの、非ヴァイスマン型は未解決である。上記の成果は、非ヴァイスマン型局所共形ケーラー可解多様体の構成・分類に大きく寄与するものである。一方で、（6 次元の分類の結果に依存するが、）局所共形ケーラー可解多様体の構造定理を示唆している可能性もある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
低次元局所共形ケーラー可解多様体の分類までの足掛かりは着実に得ていると思われるが、その構造定理やその証明方法までは見通していないため。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の結果で示したリー形式の決定が、一般の可解多様体でも成り立つことを示す。これを用いて、低次元の局所共形ケーラー可解多様体の分類を行う。そして、その構造定理を予想し、これを証明する。
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| Causes of Carryover |
少しづつ、コロナ禍前に戻りつつあり、予定している出張を行っていく予定である。
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