不変な半閉部分空間の研究

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03624
• Research Institution: Ibaraki University
• Principal Investigator: 平澤 剛 茨城大学, 理工学研究科(工学野), 教授 (10434002)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 半閉部分空間 / 不変部分空間

Outline of Annual Research Achievements

R3年度の研究計画は、初年度の研究実施計画を遂行する形で研究を行い、以下、その実績を報告する。当該年度の前半期間は、前年度で得られた知見などに基づいて継続的な研究を行った。特に、Uhlmannの補間的作用素幾何平均による半閉部分空間のpathを用いて、単調減少区間列の構成方法を中心とした考察を行ったが、区間縮小法の適用のためには、区間列の距離が0へ収束する必要がある。しかしながら、このような条件を満たしかつ別な必須条件も満たすような適切な区間列を見つけるには至らなかった。そこで、区間列の構成に関する問題点を踏まえた上で、区間列構成を別な視点から捉えるために研究実施計画で予定していたBoulbaki-Kneserの不動点定理からの考察を行ったのが、後半期間の研究内容である。この考察に関していくつかの結果と見通しが得られた。与えられた有界作用素に関して、不変で非自明な半閉部分空間の集合を通常の包含関係で半順序集合と考え、この集合上の単調増加関数として半閉部分空間を2分の1乗するという写像概念を定義し、これについてBoulbaki-Kneserの不動点定理を適用する。すると、半順序集合が完備ならば、与えられた有界作用素は非自明な不変閉部分空間をもつことがわかった。半順序集合の完備性という大局的性質ではなく局所的なものに視点を移し、鎖に関する性質の考察も行った。この鎖が上述の区間列とも関係があると考えているわけだが、一般に半順序集合には常に極大鎖が存在するため、この鎖が閉部分空間を含む条件について調査考察を行い、まだ証明は与えていないが、一つの見通し（予想）を得ることができた。その他、極大とは限らない鎖を与えたとき、それに対応する鎖の無限列を考え、それらの下極限集合（鎖となる）が空集合でない場合について、鎖が閉部分空間を含む条件を考察し一定の結果を得た。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究課題の不変部分空間問題をBoulbaki-Kneserの不動点定理と関連付けることにより、新しい視点を与え、さらに関連結果を得ることが出来たので、おおむね順調に進展していると判断できる。

Strategy for Future Research Activity

R4年度は研究期間の最終年度でもあるため、得られた成果をまとめて論文にしているところである。今後の研究推進方策としては、研究時間や論文作成時間を確保していくため学内勤務（テレワーク）などを利用して連続的かつ継続した時間を可能な範囲で確保しつつ、実施していきたい。細切れの時間をうまく活用できることも大切だが、当該学問の性質上、連続的時間の確保はときには必須と考えている。

Causes of Carryover

次年度使用額が生じた理由としては、研究集会や学会の開催がすべてオンライン開催となったために、旅費に充当する予定の使用額が余ったためである。また、使用計画としては、研究室で使用するためのWindows11搭載のPCの購入に充当する予定である。