2020 Fiscal Year Research-status Report
Stochastic analysis on stochastic generalized Cahn-Hilliard equations
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20K03627
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
謝 賓 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (50510038)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Cahn-Hilliard equation / Random enviroment / パラコントロール / quasilinear / 緊密性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，1次元非適切(ill-posed)な準線形確率偏微分方程式の解および一般された確率Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式のエルゴート性についての研究を行った．
まず，1次元格子上のランダムな環境におけるZero-range processの流体力学極限の研究に現わされた空間的smearedノイズを持つ特異な非線形確率偏微分方程式の漸近的な振る舞いを考察した．これは，舟木直久氏（早稲田大学)，Sunder Sethuraman 氏（Arizona大学），星野壮登氏（九州大学）との共同研究である．この共同研究では，パラコントロール解析理論を用いて，そのような方程式はホワイトノイズが加わった準線形確率偏微分方程式に収束することを示した．さらに，得られた非適切な準線形確率偏微分方程式に対してはパラコントロール理論に基づき局所解の存在と一意性を示すことに成功した．これについての論文を国際学術誌に投稿し，アクセプトされた．また, 舟木直久氏との共同研究で，上記で得られた確率偏微分方程式の初期値問題に対し時間につき大域的なパラコントロール解の存在を論じた．また，適切な条件の下で，時間無限大まで，大域解の振る舞いを調べた．これらの成果は現在論文作成中である．
次に，乗法的ホワイトノイズが加わった一般の確率Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式のエルゴート性，特に不変測度の存在に取り組んだ．解の長時間にわたる振る舞いが極めて重要な課題であり，一般的な理論も存在するが，以上のような確率偏微分方程式に直接に適用できないのが現状である．今年度では，一般の確率Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式に付随するマルコフ半群の一様的緊密性( tightness)を調べ，不変測度の存在を示した．これに基づき，引き続きエルゴート性の研究を行っていく．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1次元非適切な準線形確率偏微分方程式についての共同研究を行ってきて，局所解についての研究成果は国際学術誌への掲載が決定され，さらに，大域解の存在および長時間にわたる振る舞いの研究を行い，当該研究成果を論文にまとめる最中である．また，一般の確率Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式のエルゴート性を調べるため，第一歩として，不変測度の存在も示した．一部当初計画とは違う方向へ発展しているが，広範な非線形確率偏微分方程式に属するという共通点があり，今後の研究には重要な役割を果たすべきだと思う．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究状況を踏まえて，引き続き非適切な準線形確率偏微分方程式の解に関する研究を進めていく．また，一般の確率Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式の解で決まったマルコフ過程について，不変測度の一意性に取り組んで，課題の研究の推進を目指す．
次年度も海内外のオンラインで開催される研究集会に出席し，最先端の研究情報を収集するとともに，国際研究集会や確率論にかかわるセミナーで積極的に研究成果の発表を行い，専門家のコメント等より，研究成果を磨いていく．また，共同研究者達と連絡を取りながら，Zoom等を用いて議論を深めていき，成果を仕上げるように努めていきたい．
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| Causes of Carryover |
コロナウイルスの影響で出席予定の研究集会が延期または中止になってしまい，また，これまでのような現地訪問による研究打ち合わせができなくなったので，次年度使用額が生じた．残高は令和3年度の請求額と合わせて，研究打ち合わせや研究発表のために，海内外の研究集会等への出張旅費として使用する予定である．
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