確率解析によるランダムシュレディンガー作用素の研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03629
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 上木 直昌 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (80211069)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 確率解析 / 微分方程式 / 作用素論 / 数理物理 / ランダムシュレディンガー作用素 / スペクトル / 磁場 / Anderson 局在

Outline of Annual Research Achievements

本研究はランダムなシュレディンガー作用素に関する問題に多角的に取り組むことを目的としている。本年度は主に Gauss 型ランダム磁場をもつランダムシュレディンガー作用素に対して Wegner 型評価を得て Anderson 局在を証明することに取り組んだ。この問題は配位空間が2次元の場合では基本的結果が得られているが3次元以上では未解決である。本研究代表者は過去にスピン0の場合に取り組んだが磁場となる確率場の正値性を示す必要があり、これを3次元以上に拡張することは非常に難しいということが分かった。そこで本年度は主にスピン1/2の場合に取り組んだ。即ちディラック作用素に対して同じ問題に取り組んだ。その結果、配位空間が2次元の場合では以前問題になった確率場の正値性を示さなくてもよいことが分かった。そこで次に2より大きい偶数次元に拡張することに取り組んだが、波動関数の値の次元が増えてしまうことによる困難があり、依然として克服に至らなかった。他にポテンシャルがホワイトノイズになっている場合のランダムシュレディンガー作用素の研究について最近のパラコントロールカリキュラスによる研究の発展がなされていたので、今後の研究のための参考とした。また9月22日から24日と3月15日から18日に開かれた日本数学会と11月24日から25日に開かれた研究集会「確率解析とその周辺」には Zoom によってであるが、参加して主に最近の確率解析の研究動向について情報収集した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

Gauss 型ランダム磁場をもつランダムシュレディンガー作用素に対する Wegner 型評価と Anderson 局在の研究について、スピン1/2の場合に進歩があったが、3次元以上に拡張するには至らなかった。本年度は研究情報の交換に関しても、多くの学会や研究会が開催されなかったり、オンラインでしか開催されなくなったりしたので、例年より出来なかった。

Strategy for Future Research Activity

ランダムな磁場をもつシュレディンガー作用素に対する Wegner 型評価と Anderson 局在に関して配位空間が3次元以上の場合に拡張する方法を探りたい。スピン0の場合には確率場の正値性の評価が問題であり、スピン1/2の場合には波動関数の値の次元が増えることによる複雑さの処理をどの様に行うかが問題である。