2022 Fiscal Year Research-status Report
レブナー理論を基とした，古典的単葉函数論と非可換確率論との関係性の解明
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20K03632
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
堀田 一敬 山口大学, 大学院創成科学研究科, 准教授 (10725237)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | レヴナー方程式 / 非可換確率論 / evolution family |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は以下のような研究を行い，成果を得た.
1.Loewner理論において用いられるreverse evolution family（以下REF）は2つの時間パラメータs,tを持っている．もともとはs,tに関して絶対連続性が仮定されてきたが，近年非可換確率論からの要請で，s,tに関して連続であるようなREFが導入された．本研究では，一方のパラメータsに関する連続性からs,tに関する連続性が従うことを示した．一方でsに関する連続性のみでは不十分で，いくつかの仮定を追加しなければならない事も示した.本結果はProceedings of the American Mathematical Societyに投稿され，採択された．
２．以前申請者が行ったMultiple radial/chordal SLEの研究において，Burgers方程式の構造を持つLoewer微分方程式が得られた．我々はこれをBurgers-Loewnerと呼び研究を進めてきたが，これが正則関数のsemigroup理論におけるnonlinear resolventが満たす微分方程式の特別な場合であることがわかった．またsemigroupの理論は有界凸領域上で展開されるのに対してchordal typeにおいては上半平面すなわち非有界領域上で考えられるため，このギャップを埋めるべく上半平面上のsemigroupがnonlinear resolventを持つための条件を調査した．本結果は論文としてまとめられ，現在投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は一定程度研究活動に従事することができた一方で，これまでのコロナウイルスによる影響の遅れを取り戻すまでには至っていない．また海外の研究者の招聘および申請者の海外への渡航も進んでいない．国内における研究活動は引き続き順調に進んでいるので，引き続き国内の研究者との交流を進めていきたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は次のような課題の解決に取り組んでいく.
1.単位円板におけるradial decreasing Loewner chainと古典独立における単位円周上の独立増分過程との関係性は示すことができたので，次は上半平面におけるchordal decreasing Loewner chainと実軸上の独立増分過程との1対1対応を示していく.前段階の理論整備および論文の執筆は開始できているので，引き続き執筆活動を続け2023年度中には投稿できる段階へと持っていきたい．
2.近年，調和写像の擬等角拡張性の研究が注目されつつある．これに対して調和写像を用いたLoewner微分方程式の理論および同理論を用いたBecker型の擬等角拡張性を研究し，擬等角拡張可能な調和写像の研究に応用したいと考えている．
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| Causes of Carryover |
前述のようにコロナウイルスによる影響で，研究計画に遅れが生じている.特に当初計画していた2022年度のLoewner理論の国際研究集会が開催できなかった事が大きい．また海外研究者の招聘，申請者の海外渡航が未だ簡単でなかった事も理由に挙げられる．
次年度以降は，遅れている海外研究者の招聘および申請者の海外渡航の実現に向けて引き続き連絡を取りつつ検討していく予定である．
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