2021 Fiscal Year Research-status Report
拡散過程の到達時刻と標本路から定まる筒形集合に関する研究
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20K03634
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
濱名 裕治 筑波大学, 数理物質系, 教授 (00243923)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Ornstein-Uhlenbeck 過程 / Wiener sausage / 到達時刻 / square-root boundary / Bessel 過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Brown 運動に対する Wiener sausage の体積の研究のために Bessel 過程の到達時刻についての研究が必要であるが，熊本大学の大学院生と共同で得られた末尾確率の漸近展開の結果についてまとめた論文を査読付学術雑誌に投稿し掲載された．
さらに，Ornstein-Uhlenbeck 過程に対する Wiener sausage の体積の期待値を求めるために，Ornstein-Uhlenbeck 過程の球面への到達時刻を研究する必要があるが，Cameron-Martin の公式を用いてドリフトの変換を行うことにより，Bessel 過程の到達時刻の分布関数を調べることに帰着されることがわかったが，その際に扱うことになる到達時刻は，到達点が時刻とともに原点から遠ざかっていくものである．特に，時刻の平方根の大きさで遠ざかっていくものを考える必要があるが，それは先行結果に乏しい研究領域である．しかし，Mellin 変換を求めている論文を入手することができ，そこで得られている結果と Laplace 変換の性質を用いることで，研究対象となっている到達時刻の分布関数は，radial Ornstein-Uhlenbeck 過程の固定された点への到達時刻の分布関数を用いて表示することができることがわかった．それには先行結果があり，それを適用することで求める分布関数が合流型超幾何関数とその第１パラメータに関する零点を用いて級数の形で表示できることがわかった．得られた成果を公表すべく研究集会や研究者向けのセミナーで講演した．さらに，その内容を論文にまとめ査読付学術雑誌に投稿するに至った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
Ornstein-Uhlenbeck 過程は空間的に平行移動不変ではないので，Wiener sausage については，Brown 運動の場合で用いられた手法は使えない．そのため，原点から出発する Ornstein-Uhlenbeck 過程の球面へ初めて到達する時刻の情報が必要となる．特に，期待値を求めるためには分布関数を求める必要があるが，それは，Brown 運動の時間とともに原点から広がっていく球面への到達時刻を調べることに帰着できる．しかし，その到達時刻と到達点および Brown 運動の到達時刻までの積分の同時分布を調べる必要があり，今年度に得られた結果では解決には不十分である．Brown 運動の球面への到達時刻と到達点の同時分布でさえも分かっていないのが現状である．
また，Wiener sausage の体積のエントロピー関数については，有効な手段は未だ発見できていない．以前，入手した楕円型偏微分作用素を生成作用素にもつ拡散過程の論文は参考にならないものであった．
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| Strategy for Future Research Activity |
Brown 運動の球面への到達時刻と到達点の同時分布を求めることから始めることになるが，先行する研究論文を入手することができた．この論文で用いられている手法を研究することで，到達時刻と到達点の同時分布を求めることができると考えている．ただ，Brown 運動の到達時刻までの積分との同時分布については，今のところ先行結果がなく，こちらについては手探りでの研究となる．
Wiener sausage の体積については以前に入手した論文は参考にはならないことが分かり，引き続き先行結果を調べる必要がある．
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| Causes of Carryover |
今年度も前年度に引き続き新型コロナ感染対策のために多くの学会・研究集会がオンライン開催となり旅費の必要がなくなった．さらに，都道府県をまたいでの移動の自粛が要請され，また，大学への入構が厳しくし制限されている大学もあり，研究打合せの出張も満足にできる状態ではなかった．
加えて，移動を極力控えるよう大学から要請があったため長期間の在宅勤務を余儀なくされたこととオンライン講義の準備に多くの時間を割く必要があったことも研究環境の悪化に拍車をかることとなった．
次年度は規制も緩和され入構の自粛を要請している大学も若干あるが，京都大学，東北大学，九州大学，関西大学など関連する研究者との研究打合せなどを進める予定である．
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