2023 Fiscal Year Annual Research Report
拡散過程の到達時刻と標本路から定まる筒形集合に関する研究
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20K03634
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
濱名 裕治 筑波大学, 数理物質系, 教授 (00243923)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Wienee sausage / Bessel 過程 / Ornstein-Uhlenbeck 過程 / 到達時刻 / Laplace 変換 / Square-root boundary / Brown 運動 / Gegenbauer 多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Brown 運動に対する Wiener sausage の体積の研究には，Bessel 過程の到達時刻の確率分布についての漸近挙動が必要であり，末尾確率の時間増大における挙動を詳細に調べ査読付学術雑誌に成果を公表した．また，Ornstein-Uhlenbeck 過程に対する Wiener sausage の体積については，Ornstein-Uhlenbeck 過程の球面への到達時刻を研究する必要があるが，Brown 運動が時間とともに遠ざかる境界への到達時刻と適当な関数のその到達時刻までの確率積分の同時分布を調べることに帰着され，準備段階として，その到達時刻の分布関数の具体的な形を決定した．一般の Bessel 過程への拡張を行った上で，得られた結果を査読付学術雑誌に公表するに至った．次に，到達時刻までの確率積分で最も単純なものは，到達時刻における位置であるから，Brown 運動が球面へ到達する時刻と到達する位置の同時分布を調べ，同時密度関数が Bessel 過程の到達時刻の確率密度関数と Gegenbauer 多項で表示できることが分かった．この結果は，定数ドリフト付きの Brown 運動にまで拡張した上で査読付国際学術雑誌に掲載されるに至った．さらに，同様の問題を Ornstein-Uhlenbeck 過程にまで拡張した結果を得ることができ，そこで得られた成果を論文にまとめ査読付学術雑誌に投稿した．
一方，Brown 運動の性質が，動く空間によって半径方向の運動がどのようにかかわっているかを調べることも重要な手掛かりになると考えて，実双曲空間上の Brown 運動の球面への到達時刻について，筑波大学の大学院生と共同で研究を行い，残念ながら到達時刻の分布関数の具体形を得るには至らなかったが一定の成果を得た．得られた成果が査読付学術雑誌に計算されることが決定した．
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