2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K03635
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
金 大弘 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (50336202)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | シュレディンガー形式 / 散乱長 / 準古典極限問題 / ファインマン・カッツ汎関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ファインマン・カッツ汎関数に重み付けられた半群の周辺問題とそのシュレーディンガー作用素について、関数解析的取り組みを手法とする以下の確率論的応用問題について考えた。
(1) エネルギー零の加法汎関数を含むファインマン・カッツ汎関数に付随されるシュレーディンガー作用素の臨界性理論を確立するとともに、いくつかの最大値原理についての結果を得た。研究成果は数学雑誌 Osaka Journal of Mathematicsに掲載された。(2) 一般的な対称マルコフ過程の枠組みで、飛躍型加法汎関数に対する散乱長の概念を拡張し、カッツの散乱長公式やそれに関連する散乱長の準古典漸近問題の確率論的手法による拡張を与えた。研究成果は Springer Proceedings in Mathematics and Statistics に掲載予定。(3) エネルギー零の加法汎関数を含むファインマン・カッツ汎関数のゲージ理論を駆使してシュレディンガー作用素の熱核の安定性における最も一般的な枠組みでの判定条件、並びに同値条件などを究明した。研究成果は Journal of the Mathematical Society of Japan に掲載予定。(5) 時間非斉次拡散過程の熱核についての評価とその上限レート関数における応用問題について一定の結果を得た。研究成果は現在投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般化された非局所型ファインマン・カッツ汎関数の重みをもつ対称マルコフ過程が示す特異的な性質の確率論的理解は、ディリクレ形式論やシュレディンガー形式論といった関数解析的取り組みなどの研究成果を土台にして進行させた一連の研究と上手く対応することが分かってきた。さらに、これらの研究手法は、散乱長公式や散乱長の準古典漸近問題などといった数理物理で重要視されている概念とも上手くマッチしており、これらの量がもつ確率論的側面においても一定の意味を成している。以上のことで、ファインマン・カッツ汎関数を重みとしてもつ確率過程に対する新しくより見通しの良い解析学的理論展開を構築する当初の研究目標は一定部分達成できたように思える。特に、ファインマン・カッツ汎関数に付随されるシュレーディンガー作用素の臨界性理論が確立でき、様々な古典的最大値原理との関係が分かってきたことは、これからの関連問題を取り組む際の新しい突破口となるのではと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果を土台にして、シュレディンガー作用素における様々な解析とその結果がもたらす確率論的立場からの意味について注意深く研究を進行していくとともに、特に、以下に示す問題を明らかに究明したいと考えている。
(1) 正値加法汎関数に対する散乱長とディリクレ形式からなるその変分表現について。(2) シュレディンガー形式の臨界性とハーディー型不等式について。(3) 飛躍型ファインマン・カッツ汎関数により処罰される対称 Levy 過程の処罰問題および処罰測度 vs 確率測度間の絶対連続性について。(4) 時間非斉次拡散過程の熱核の評価とその応用問題について。
なお、これらの問題については既に一部分結果を得ている。
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| Causes of Carryover |
今年度は、国内はもちろん国外においてもコロナ拡大防止の一環として、予定されていたすべての学会と研究集会および研究打ち合わせなどが中止または延期となった。そのようなことにより、予定していた旅費や研究経費の支出が計画通りにいかなくなる予想外のことが起きったことが次年度使用額が生じた理由である。コロナ拡散の状況次第ではあるが、次年度はできるだけ予定されている学会や研究集会および研究打ち合わせなどを当初の計画通りに行う方針を立てており、私もそのことに従って慎重に研究を計画通りに進める予定である。
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