2020 Fiscal Year Research-status Report
A New Approach and Development to Singular Integrals in Noncommutative Harmonic Analysis - Fusion of Real Analysis and Representation Theory
| Project/Area Number |
20K03638
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
河添 健 慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 名誉教授 (90152959)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 非可換調和解析 / ヤコビ解析 / 特異積分 / Hausdorff作用素 / アトム分解 / クウォーク分解 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
ユークリッド空間上の特異積分をヤコビ解析へ拡張することが本研究の目的である。本年度は特異積分の例としてHausdorff作用素を取り上げた。ヤコビ解析でのHausdorff作用素を研究する過程から、ヤコビ解析に限らず、重み付きの空間および変数変換による重みの変換という極めて一般的な枠組みでHausdorff作用素をとらえることができた。これは数多く発表されてきたHausdorff作用素に関する研究を包括的にとらえるもので有意義である。この研究はモロッコハッサンII大学のDaherおよびその院生のSaadiとの共同研究である。さらにヤコビ解析の場合に限ると、指数型の重みとその変数変換の関係から、Lp有界性は問題ないが、はHardy空間上での有界性を得ることが難しいことが判明した。この場合、Hausdorff作用素の定義自体を工夫する必要あり、新たな研究課題である。
もう一つの話題としてヤコビ解析におけるHardy空間のアトム分解を取り上げた。この分解自体はすでに得られた結果であるが、今回、各アトムの更なる分解として、アトムのクウォーク分解を構成した。解析的な視点での関数の分解としては興味深い結果である。この研究過程から、アトムのモーメント条件とアトムのサポートが原点から離れている状態を統一的に表す条件ー拡大モーメント条件ーを導入することができた。これはユークリッド空間では現れず、非可換性の特徴として重要と考える。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究ではヤコビ解析より、より一般的な半単純リー群上での特異積分論の構築、とくに実Hardy空間上での特異積分の有界性を目標としている。現状ではその典型であるヤコビ解析での研究に留まっている。しかし上述の実績報告で述べたように新たな発見や新しい概念の構築があり、研究全体からすれば順調に進展していると考える。
|
| Strategy for Future Research Activity |
進捗状況で述べたように、より一般的な半単純リー群G上での特異積分論の構築、とくに実Hardy空間上での特異積分の有界性を目標とする。最初の一歩はHardy空間の構築である。典型であるヤコビ解析におけるHardy空間は、実ランク１は半単純リー群G上では、K両側不変関数からなる空間となる。GもしくはG/K上のHardy空間を構成するとなると、通常はK型での和を考えることが必要となる。この際、各K型でのHardy空間の和が何を意味するのかを見極める必要がある。とくにその性質やそれを表す条件を研究課題としたい。
|
| Causes of Carryover |
海外での研究打ち合わせ、国際会議での成果発表などを旅費として計上していたが、コロナ感染拡大により、渡航ができず予算の執行ができなかった。本研究を遂行するには海外研究協力者との連携が必須であり、とくに対面での議論は欠かせない。本年度も海外での研究打ち合わせ、招聘、国際会議での成果発表を予定している。
|
