2021 Fiscal Year Research-status Report
Stochastic analysis focused on integration by parts formulas for jump processes
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20K03641
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
竹内 敦司 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (30336755)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ジャンプ型確率過程 / マリアヴァン解析 / 部分積分公式 / 分布の距離 / リーマン多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間の2年目である2021年度は、与えられた二つのジャンプ型確率過程のWasserstein距離に関する考察を中心に研究を進めてきた。より具体的には
(1) ユークリッド空間に値をとる確率微分方程式の解として定まるジャンプ型確率過程について、それらの分布の Wasserstein 距離に関する評価
(2) 上記(1)における考察の対象を、ユークリッド空間からリーマン多様体に拡げ、二つのジャンプ型確率過程に関する分布を Wasserstein 距離の立場から考察
(3) パラメータ付きジャンプ型確率過程に関する漸近展開に向けた研究
の3点である。
(1)について、2020年度から継続して考察しているトピックスであり、ユークリッド空間においては確率微分方程式の係数に対する条件との関係をある程度、明確にすることができた。さらに(2)では、考察の対象をユークリッド空間からリーマン多様体に拡げ、リーマン多様体上のブラウン運動を従属操作することによって得られるジャンプ型確率過程と、リーマン多様体の直交枠束上のMarcus型確率微分方程式の解を射影させて得られるジャンプ型確率過程は、分布が必ずしも一致するとは限らないことを、Wasserstein距離の立場から説明することができた。(1)および(2)の結果は一つに合わせて論文の形にまとめ終えて、現在、学術雑誌に投稿しているところである。続く(3)の研究は、確率過程の弱近似と密接に関連したトピックスであるが、これをジャンプ型確率過程に対するマリアヴァン解析の立場から考察を進めるものである。その場合、Hawkes過程のような自己励起性を持った点過程をも含める形で考察を進めており、数理ファイナンスなどへの応用も大いに期待される研究となっている。現在、ある程度の見通しを持って研究結果を取りまとめる作業を行っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
リーマン多様体上のジャンプ型確率過程については、これまでそれほど多く研究されてきたわけではないが、少しずついろいろなことが解明されつつある。また研究の進捗についても、当初思い描いていた形で徐々に結果が得られてきており、この流れを積極的に維持・発展させながら、また国内および国外での研究のネットワークを拡げながら、さらなる研究の深化に努めたいと考えている。
オンラインで開催される研究集会などの機会を通じて、得られた研究結果を発表し、いろいろな研究者たちとの意見交換も行なっている。新型コロナウィルスの影響を受けて、国内および国外の研究者たちと直接会って議論する機会を確保するのが難しい状況ではあるが、オンラインでのやり取りなどで工夫して研究を進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
リーマン多様体上のジャンプ型確率過程について、その密度関数の性質を確率解析的な立場から考察したいと思っている。この方向での研究は、これまで全く何も解明されてこなかったものであるので、積極的に推し進めたいと考えている。特にリーマン多様体が持ついろいろな幾何学的な情報が、ジャンプ型確率過程あるいはその密度関数にどのような影響を与えるのかに焦点を当てて、研究を進めてゆきたい。
また、ジャンプ型確率過程に対する部分積分公式を応用して、期待値のパラメータに関する漸近展開公式について考察を進めてゆきたい。その際、Hawkes過程のような自己励起性を持つ点過程をも含めた形で研究を進めることを考えている。この研究は、研究代表者の竹内がこれまでに得てきた研究結果と深く関係するものであり、さまざまな性質について調べてゆく予定である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響が続いており、当初予定していた国内出張や国外出張がほとんど実施することができていない状態である。そのため、予定していた旅費がそのまま残った状態となっており、未使用の額が生じてしまっている。今後、どのような状況になるかは見通せないが、状況が許す範囲内で徐々に国内および国外の出張を含めてゆき、研究をさらに前に進めて行きたいと考えている。
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