2022 Fiscal Year Research-status Report
Stochastic analysis focused on integration by parts formulas for jump processes
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20K03641
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
竹内 敦司 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (30336755)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ジャンプ型確率過程 / マリアヴァン解析 / 部分積分公式 / 分布の距離 / リーマン多様体 / 数理ファイナンス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間の3年目である2022年度は、ジャンプ型確率過程に関する漸近展開について、精力的に研究を進めてきた。具体的には、ジャンプ項を含まない拡散過程を基準の確率過程として考え、その中に小さな不連続性の影響を含めたジャンプ型確率過程（ジャンプ拡散過程と呼ばれている確率過程）を考え、分布の意味での収束に関する考察を、ジャンプ型確率過程に対するMalliavin解析の立場から行った。この問題は、数理ファイナンスにおけるBlack-Scholesモデルに小さなジャンプ項が追加された確率過程を考え、そのオプション価格公式とBlack-Scholes公式の間の収束関係を精密に調べていることにも対応している。さらにジャンプ項の追加については、最近いろいろなトピックで注目を集めているHawkes過程（自己励起性を持った点過程）をも含むことができるという意味で、興味深いものになっている。2021年度の後半あたりから取り組んでおり、現在、研究結果の取りまとめ作業の最終段階であり、近いうちに学術雑誌に投稿する予定である。
2022年度の後半あたりからは、数理ファイナンスにおける金利モデルに関する研究を始めている。具体的には金利モデルを特徴づけるパラメータに関する漸近展開を試みる研究であり、最終的にはジャンプ項も含んだ形での考察への発展を意識して研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ジャンプ型確率過程について、Malliavin解析の立場からいろいろなトピックに関する研究に取り組み、研究結果は順調に得られてきている。その点では順調に研究は進んでいるが、やはり国内および国外の研究集会などはオンラインで開催されるものが多くなっており、直接会って議論をする機会の確保が難しい状況である。いろいろな研究者たちとも意見交換などはオンラインで行ったりしているが、得られた研究結果に対する様々な観点から直接会って議論をする機会が少なくなっているため、どうしても時間がかかってしまっている。その結果、当初思い描いていた研究のペースからすると、やや遅れているように感じられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
ジャンプ型確率過程に対するMalliavin解析について、もう一歩踏み込んだ立場から検討しようと考えている。具体的には、現在、ジャンプ型確率過程に対するMalliavin解析は大きく分けて二つの立場がある。一つは部分積分公式の構築を目指す解析、もう一方は差分公式の立場から双対公式を得る立場である。これら二つの立場は別々に議論されることが多いが、背後ではしっかりと関係し合っていると考えており、その部分を明らかにして行きたい。
さらにジャンプ型確率過程の密度関数に関する性質を、Malliavin解析の立場から、より深く考察を進めて行きたいと考えている。特にRiemann多様体上のジャンプ型確率過程について、幾何学的な情報がどのように反映されているのかを、Malliavin解析の立場から明らかにしてゆくことを目指したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響が続いており、当初予定していた国外出張がほとんど実施することができていない状態である。そのため、予定していた旅費が残った状態で継続しており、未使用の額が生じてしまっている。今後、どのような状況になるかは見通せないが、状況が許す範囲内で徐々に国外の出張を含めてゆき、研究をさらに前に進めて行きたいと考えている。
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