2020 Fiscal Year Research-status Report

有限予測における表現定理とテプリッツ系に対する線形時間アルゴリズム

Research Project

Project/Area Number	20K03654
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	井上昭彦広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (50168431)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2023-03-31
Keywords	テプリッツ行列 / テプリッツ系 / 線形時間アルゴリズム
Outline of Annual Research Achievements	(1) 正定値の行列値関数でその逆行列も可積分であるようなシンボルを持つブロック・テプリッツ行列を考える。研究代表者は、そのテプリッツ行列の逆行列に対する新しい明示公式を導いた。その明示公式の主要な構成要素は、シンボルに付随する相関数とよばれるユニタリ行列値関数のフーリエ係数である。その明示公式を示す際に鍵となるのは、そのテプリッツ行列の逆を有限予測的量で表現するある等式であり、研究代表者によるこの等式の発見が、この研究全体のブレーク・スルーとなった。実際、この等式により、研究代表者がこれまで発展させてきた有限予測に関する理論を、テプリッツ行列に適用できるようになり、これによりテプリッツ行列およびテプリッツ系の分野に、全く新しい研究手段を提供することとなった。 (2) 研究代表者は、上記のテプリッツ行列の逆行列に対する明示公式の有用性を、二つの応用で示した。一つは、テプリッツ行列のサイズが大きくなっていく際の、テプリッツ系の解の強い収束性に関する結果である。この結果は、特別なテプリッツ系であるYule-Walker方程式の解に対しては、Baxterの不等式とよばれるものの応用として古くから知られていたが、研究代表者の結果は、これの一般のテプリッツ系への拡張になっている。 (3) 上記のテプリッツ行列の逆行列に対する明示公式の2番目の応用は、シンボルが有理的な場合の、テプリッツ行列の逆行列に対する閉形式公式である。この閉形式表示は、サイズが不変な構成要素的行列をいくつか組み合わせた形をしている。この閉形式表示の著しい点は、これから、対応するテプリッツ系の線形時間アルゴリズムが得られる点である。線形時間より早いアルゴリズムは存在しないので、この結果は応用上の意義がある。 (4) 以上の研究成果は、研究代表者により、論文として投稿中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason 本研究課題の研究目的としてあげていた最初の項目については、予定していた結果は割合に容易に出たが、その結果の意義を説得的に説明する応用という点に関し、問題点が予想されていた。しかし、2020年度の研究で、まさにその欲しかった結果の意義を説得的に説明できる2つの応用を見出すことができ、非常によい仕上がりの論文を書くことができた。以上の理由で、現在までの進捗状況は、当初の計画以上に進展していると判断する。
Strategy for Future Research Activity	本研究課題の研究目的としてあげていた最初の項目については、予想以上の成果をあげることができ、それに関する論文を投稿することができた。今後は、同じく研究目的としてあげていた「動的確率従属性解析の手法の開発とファイナンスヘの応用」の研究を予定通り進めていく。
Causes of Carryover	2020年度には、新型コロナウイルス感染症の流行により、研究打ち合わせおよび研究成果発表のために使用する予定であった国内旅費と海外旅費は、すべて使えなくなってしまった。一方、2020年度には、研究や研究成果発表をオンラインで行うために、必要となる物品の購入を本科学研究費を用いて行い、研究にとって非常に有効であった。結果として、全体としては、次年度使用が生じた。 2021年度も新型コロナウイルス感染症の流行は続いているので、研究打ち合わせおよび研究成果発表のために国内旅費と海外旅費を使用できるかどうかは不確実であるが、その代わり、研究をオンラインで行うための物品の購入を本科学研究費を用いて引き続き行い、有効に利用する計画である。