2021 Fiscal Year Research-status Report
Application of Newton polyhedra in various kinds of analysis
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20K03656
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
神本 丈 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90301374)
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2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 特異点解消 / 振動積分 / 局所ゼータ関数 / ニュートン多面体 / D’Angeloの型 / ベルグマン核 / セゲー核 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
様々な数学の問題に現れる振動積分や局所ゼータ関数の解析を、様々な特異点解消定理を用いて行った。この期間に得た特異点解消定理として最も重要なものは、2変数の可微分関数に関するものであり、本質的に新しい結果である。実際に、可微分関数の中には、ブローアップを有限回用いるだけでは、特異点が解消されないものが存在するが、私が得た結果では、一般に可微分関数も有限回のブローアップを用いることで、「ほとんど」特異点解消されるというものである。もう少し詳しく述べれば、局所的に平坦関数を係数となる多項式の積で、与えられた関数が表されるというものである。この定理により、局所ゼータ関数の特異性として、極以外の特異性が現れる位置についての、非常に詳しく一般的な結果を得ることができた。これらの結果は、振動積分の無限遠における挙動の漸近解析においても、応用されるものである。
また、特異点解消定理の応用を、多変数関数論の問題に応用することを試み、ある程度の成果を得た。ニュートン多面体という、特異点論で重要な概念を、多変数関数論の分野に導入し、これを用いた特異点解消を行うことにより、実超曲面上の不変量として重要なものであるD'Angeloの型に関する様々な性質を詳細に調べた。今年度は、特に無限型の場合についてかなり詳しい成果を得た。ニュートン多面体を用いたアプローチは、非常に自然であり、有用であることが理解できた。この分野で重要な積分核であるベルグマン核やセゲー核の境界挙動に関しても、ニュートン多面体を用いた定量的な解析を引き続き行い、いくつかの成果を得ている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
私の研究においては、解析学的な側面と代数学・幾何学的な側面の両方からのアプローチが重要であるが、双方の数学的な理解は共通部分が少ない。そのために、それらの先行研究に対する理解に関しても、かなり多くの時間と労力を要するわけであるが、ここ数年は比較的時間的にも余裕があったため、双方の側面についてある程度深い理解を得ることができた。その結果、代数や幾何的な研究である特異点解消に関する成果と、解析的な研究である局所ゼータ関数や振動積分の漸近解析に関して、ある程度満足する成果が得られた。
私の研究においては、当然成立するであろうと予想される定理を証明していくことも、多くあるが、しばしば予想もしない不思議な現象に出くわすこともある。特に、可微分関数に関する代数的な議論と解析的な議論においては、思わぬ現象が現れ、それらをどのように解釈し解析していくかは、非常に時間のかかることであり、重要なことでもある。今後、このような問題に当たった場合には、先に述べた当然成立するであろう結果の研究と平行して研究を行うことにより、コンスタントに成果が得られるようにコントロールしていきたいと思っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までに行ってきた考え方や方法を継承しながら、研究をすすめていく予定である。さらなる成果を得るためには、代数や幾何の多くの知識や理解が不可欠となるため、これらの分野の勉強により多くの時間をさく必要があると考えている。
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| Causes of Carryover |
コロナウィルス蔓延のため、参加予定していた多くの対面の研究集会が行われず、それらに参加できなかったため、旅費などの予算を使用できなかった。次年度は、ここ2年以内に出席できなかった研究集会にも多く出席する予定であり、そのための予算が必要となる。
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