2023 Fiscal Year Annual Research Report
New development of analysis and geometry on convex cones
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20K03657
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
伊師 英之 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00326068)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 等質錐 / グラフィカルモデル / ウィシャート分布 / 等質ヘッセ領域 / ジーゲル・ヤコビ領域 / ジョルダン代数 / 可解リー群 / 軌道の方法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
置換対称性を付加したコーダルグラフィカルモデルに付随する凸錐上のガンマ積分（ある種の分配函数）について明示的な公式が得られた．グラフが完全グラフの場合は，得られる凸錐は対称錐であり，対応するジョルダン代数の構造は置換群の自然表現の既約分解を通じて記述でき，ベイズ統計によるモデル選択への応用も整備できた．この表現を既約分解することは一般に難しい問題だが，確率１で数値的に既約分解を与える方法を考案した．ここに現れる対称錐が典型例であるが，一般に半単純ジョルダン代数から定まる統計多様体の二重自己平行部分多様体を代数的に特徴付けることに成功した．
一方，多次元ガウス分布の部分モデルでパラメータ集合が凸集合で行列群が推移的に作用するものを等質ヘッセ領域の理論を用いて具体的に記述した．この等質ヘッセ領域と密接な関係にあるのが等質ケーラー領域であり，全ての等質ケーラー領域はジーゲル・ヤコビ領域に作用するアファイン変換群の群軌道で複素部分多様体となるものとして実現できることを示した．等質ケーラー多様体におけるジーゲル・ヤコビ領域の普遍性と，群が推移的に作用する指数型分布族におけるウィシャート・ガウス分布の普遍性の類似点が明瞭になったことは大きな成果である．これらの対象に作用するのは可解リー群であるが，指数型可解リー群のユニタリ表現論において微分表現の核と余随伴軌道の関係について限定的な条件のもとではあるが一つの自然な結果が得られた．その限定的な条件を緩めることが今後の課題である．
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