2020 Fiscal Year Research-status Report
差分方程式の複素領域における研究とその応用について
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20K03658
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| Research Institution | The Open University of Japan |
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Principal Investigator |
石崎 克也 放送大学, 教養学部, 教授 (60202991)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤解 和也 金沢大学, 電子情報通信学系, 教授 (30260558)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Fermat型函数方程式 / 有理型函数論 / 整函数論 / Nevanlinna理論 / Stothers-Masonの定理 / 差分radical / 複素微分方程式 / 複素差分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度における研究では、主に複素平面上でのNevanlinna理論をFermat型函数方程式および線形差分方程式に応用した。共に古典的な未解決問題を取り扱うと同時に差分類似における問題を提起し古典的な方法と2004年以降に発展した差分Nevanlinna理論を比較検討した。まず、Fermat型函数方程式について、有理関数と多項式に関してNevanlinna理論における対数微分の補題に対応する演算を導入し、超越的有理型関数と超越整関数と同じ理論構成で4者が取り扱えることを示た。これにより、既存の定理の別解を与えた。更に、多項式解に関して別角度からの評価式を得た。Fermat型函数方程式の未解決問題解決のための中間的到達点として解の満たす微分方程式を導く手法がある。これに関して超越整函数の場合に一般項数に関する結果を得た。次に、差分radicalの考え方を提起しStothers-Masonの定理の差分類似を導いた。更に、差分 radicalを応用した差分Nevanlinna理論の表現を利用して差分Fermat型函数方程式について解の存在と冪数との関係（不等式）を導いた。これらの不等式が最良であることを示すための非自明な例も構成した。
複素領域での差分方程式論は20世紀初頭にNorlund, Milne-Thomson, Whittakerらにより深められた。その後、2000年を境に線形差分方程式の有理型函数解・整函数解の解析的研究と増大度の研究は再び活発に研究されるようになった。本研究では、解をBinomial級数で表現することに立ち返り、古典的な Lindelof- Pringsheimの方法がどこまで有効かを調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
既存のFermat型函数方程式についての定理およびStothers-Masonの定理の差分類似に関して、差分Nevanlinna理論を応用し一定の結果を得て学術雑誌にて発表することができた。研究目標に挙げた柳原の問題、すなわち、ある種の高階非線形差分方程式が複素領域において有理型函数解をもつための必要十分条件を求める問題は現在進行中である。
必要条件についてはNevanlinna理論の増大度の評価が有効であり、方程式の形は3つが候補として残っている。このうちの1つについてはNevanlinna理論と特異点拘束法の併用が有効に機能し有理型函数解をもつための十分条件も定まっている。残り2つの場合については各論的な考察は進んでいるが、いくつかあらたな提案が必要である。
複素領域での有理型函数解の存在定理の十分条件を求めるBinomial級数による研究は線形差分方程式には有効に機能した。ArXiv投稿論文としてあった位数の制約χ<1およびχ=1の場合に関しては学術雑誌での審査が終わり掲載可の状態になっている。ここで、Binomial級数の位数χは係数からLindelof- Pringsheimの方法で定まる数である。一方χ>1の場合は、一般にBinomial級数は半平面でも収束せず帯状領域での考察などが必要になると考えられ検討中である。
より広い学術領域への応用として挙げたパンタグラフ方程式に代表される遅れを持つ微分方程式（差分-微分方程式）の研究は現時点では情報を収集している状態である。一つの方法は差分の部分をq-差分化して統一の展開として扱う方法である。実際、Askey-Wilson差分作用素に対する研究が近年では進化している。全体の理論構築の流れは、既存の範疇を超えてはいないが今後の進展を注視していきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
Fermat型函数方程式およびStothers-Masonの定理の差分類似では差分radicalの定義を見直すことを考えている。定義は複雑になるが自然な結果が得られると予想される。
ある種の高階非線形差分方程式が複素領域において有理型函数解をもつための必要十分条件を求める問題では、新たな手段として代数型函数の理論が一つの候補として挙げられる。山ノ井型の第2主要定理を適用することでさらに絞られることが予想される。一方、十分条件を導くためには不動点定理の応用や複素函数の積分表示なども検討する必要があると考えられる。
線形方程式について形式解を求めることに関してはBinomial級数が有効であるが収束については限界が有る。今後、Bernoulli級数などの導入を考えているが形式級数を導くためには相当な計算量が予想されることも課題の一つである。
また、解のLaplace積分表示も有効な手段と期待される。古典的なNorlund, Milne-Thomsonの解法と近年の微分方程式についてのLaplace積分表示の方法をどのように融合させられるかが鍵になると考えられる。
差分-微分方程式については近年いくつかの研究成果が発表されている。全体の理論構築の流れは既存の範疇を超えてはいないが、本研究との関係を踏まえて今後の進展を注視していきたい。
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