2022 Fiscal Year Annual Research Report
差分方程式の複素領域における研究とその応用について
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20K03658
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| Research Institution | The Open University of Japan |
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Principal Investigator |
石崎 克也 放送大学, 教養学部, 教授 (60202991)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤解 和也 金沢大学, 電子情報通信学系, 教授 (30260558)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Differential equations / Exponential polynomials / Fermat equations / Nevanlinna theory / Difference equations / Newton polygon / Order of growth / Entire functions |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度における研究は、2020年度・2021年度に引き続き、Nevanlinna理論の複素平面上での函数方程式への応用である。主な成果は、線型微分方程式および線型差分方程式の有理型函数解の存在と解の増大度や値分布を記述することである。
先ず線型微分方程式については、係数に指数多項式を含む場合に解と係数の値分布的性質を比較した。函数方程式の係数を与える指数多項式の性質が解の増大度に及ぼす影響などを纏めて報告した。研究成果の一部に1980年代に小澤満先生の取り扱った問題の精密化を含んでいる。同じ時期にBankとLaineによって与えられた複素振動の問題は長い間未解決であったが2019年にBergweilerとEremenkoによって解決された。ここで問題解決の糸口となったのは指数多項式の考察である。
次に、線型差分方程式については、主に多項式係数線型差分方程式における位数が1未満の整函数解の存在と方程式が記述するNewton-Polygonとの関係を考察した。線型同次差分方程式の解については周期函数を係数とする一次結合もまた解になることから解の位数の上限を抑えることはできず、位数1未満の解の存在を調べる研究が主となる。多項式係数の線型同次微分方程式論に現れる整函数解の位数とNewtonの折れ線の関係が差分方程式ではどのように表現されるかを纏めてarXiv Mathに公開した。特に、任意の1未満の有理数を位数とする整函数解を持つ線型同次差分方程式が存在することを証明した。この論文の中では2項級数（下降階乗冪級数）を応用することで、非自明な例を構築した。
Fermat型函数方程式の古典的な未解決問題への取り組みも継続した。特に、3項からなる場合について、今までとは異なる恒等式を応用する評価を試みた。ひとつの成果として同じ次数を持つ例を構築して研究集会で報告した。
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