2023 Fiscal Year Annual Research Report
グラフ構造の幾何学的表現の解析による数論的変換のエルゴード理論
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20K03661
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
仲田 均 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 名誉教授 (40118980)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | エルゴード理論 / 連分数変換 / Farey グラフ / 虚二次体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Farey グラフの構造を解析することにより実数体・虚二次体の連分数変換の理論の研究を行った。最終年度では前年度に開始した実数のα-連分数変換の拡大としてのα-Farey変換をの研究をほぼ完成させた。これによりこれまで 1/2 以上のαにしか知られていなかったα連分数変換に関する正規数の全体の集合のαに関する不変性やほとんど全てのα連分数変換に関するφ混合性の非成立が 0 以上のαの範囲で成立することを証明した。この成果に関しては、Karma Dajani(Utrecht 大)、Cor Kraaikamp(Delft工科大)、夏井利恵（日本女子大）と共に論文を準備中である。また、アイゼンシュタイン数体上の複素連分数変換のエルゴード理論、とりわけ自然拡大の構成に関する論文を現在、夏井利恵と江居宏美（弘前大）と共に作成中である。
研究機関全体を通して、実数体、および複素数体上のFareyグラフの構造の反映としての連分数変換のエルゴード理論の研究において上に記した成果の他に、以下のテーマで多くの新しい結果を得ることができた：1) α連分数変換のエントロピーの極大性に関するKraaikamp-Schmidt-Steiner の予想をFarey グラフの geodesic path と連分数の関係を利用して肯定的に解決した。2) Hurwizt-Lakein型複素数連分数変換のエルゴード理論、特に自然拡大の構成について成功した。3) α-N-連分数変換の定義域にgapが存在しないための十分条件を与えた。4) 局所体上のユークリッドアルゴリズムに関してもグラフ理論の方法論を適用してそのコスト関数に関する評価を与えることに成功した。以上、本研究の目的のかなりの部分はほぼ成功した。
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