2020 Fiscal Year Research-status Report
From elliptic operators to sub-elliptic operators
| Project/Area Number |
20K03662
|
|---|
| Research Institution | Osaka City University |
|---|
Principal Investigator |
古谷 賢朗 大阪市立大学, 数学研究所, 特別研究員 (70112901)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | Calabi-Yau 構造 / Symplectic 多様体 / polarization / Bargmann 変換 / Lagrange sub-manifold / Cayley projective plane / Fourier積分作用素 / 不変多項式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
多様体の余接束は自然にsymmplectic構造を持ち、低空間への射影の核はpolarizationの一種であるLagrange葉層構造を定める。一方Kaehler構造も(正の)polarizationの一つであるが、余接束(ゼロセクションを除いた場合でさえ)がその構造をも持つ多様体は限定されている。本科研費研究目的の一つは、Cayley射影平面の余接束からゼロセクションを除いた空間(Xと置く)はその両方を持つことを踏まえ、更にCalabi-Yau構造と呼ばれるそれの標準束が正則自明であることを、各点で消えない正則大域切断を具体的に構成し証明することである。長年断続的に探求していたが漸く今年度初めに結論に至った。このXの標準束は、26次元複素射影空間のtautological line bundleの5回のテンソル積を用いて表示される。5回であることはJacobianの具体的計算を通じて分かったが、他のより理論的構造的な方法も追求している段階である。この構造の構成の目的自体は、ユークリッド空間の場合のFock空間と類似の再生核を持つHilbert空間をX上に導入し、所謂Bargmann変換を構成することである。他の射影空間(球面はもちろんのこと、複素及び四元数射影空間)の場合は既にこれらの構成はなされていて、Cayley 射影平面に対する場合が長年の懸案として残っていた。
一般に二つの正のpolarizationがあれば一方のpolarized sectionから他方のpolarized section への変換がBargmann変換と呼ばれる。ここでは古典力学的観測量( = 相空間上の ”良い”観測量、ここでは正則関数である )から量子力学的状態関数への対応と解釈され、自由粒子の運動を記述する測地流とその量子化であるLaplacianのrootにより生成されるFourier積分作用素の一係数群との対応を与えているとも見れる。又、この変換により相空間上の同次多項式がLaplacianの固有関数に対応していることが分かる。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍で予定していた研究交流が出来なかったので、「研究実績の概要」で述べた長年の懸案であった問題に特化して一年の多くの研究時間を費やし想定していた一応の結果に到達出来たが、次年度はこの結果をもう少し精査し更に関連する事柄をも含めて研究を発展させる予定である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今年度取り敢えず得られた結果を更に精査し関連する研究、特にMaslov 量子化条件を満たすLagrange多様体の構成の問題にも一定の結論を出す予定である。後期にはpseudo H-type nilmanifoldのsub-Laplacianのspectral zeta関数の留数とRiemann zeta関数の整数点での値との関連する一昨年の研究を発展させる予定である。又コロナ禍による制限がなくなり今年度に予定しているノルウェー、ドイツ滞在が可能になれば、共同研究者とこのLie群の離散部分群の分類問題や、このnilmanifoldのspectral zeta関数に関する問題にも取り掛かる予定である。
|
| Causes of Carryover |
コロナによる世界的規模のパンデミックで予定していた外国(ドイツ、台湾)出張が出来ず、国内大学訪問や研究集会も遠隔になり旅費としての支出が出来なかった。
|
