2022 Fiscal Year Research-status Report
From elliptic operators to sub-elliptic operators
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20K03662
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
古谷 賢朗 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (70112901)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Conic singularity / Radon 変換 / sub-Riemann 構造 / sub-Laplacian / Fourier 積分作用素 / pseudo H type Lie 環(群) / 一様離散部部分群 / 国際共同研究 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）Conic singularity を持つ多様体上の conic metric に関する熱核を擬微分作用素の symbol calculus の理論に基づいて特殊関数による具体表示を求める研究を一昨年より継続した。ここでは変形 Bessel 関数の parameterに関する導関数の挙動を調べる事が重要であることが分かっているが、2022年度中には最終形には至っていない。
（２）並行して、double submersion により 定義される一般 Radon 変換の内 Fourier 積分作用素になっているものについて、昨年度よりの研究を継続した。目標はいつそのような Radon 変換が Fredholm 作用素になるかの判定条件とそのindex公式を得ることである。2023年度に集中して研究出来るところまで整理が進んだ。
（３）本年度に最も集中して取り組んだ問題が、pseudo H type Lie 群の一様離散部分群の構成と分類の問題である。研究代表者が2022年秋に共同研究者の在籍する Norway Bergen 大学を訪問、また2023年3月にはその共同研究者を日本に招聘し、対面での共同研究を通じて一定の結論を得ることが出来た。ここでの結論は invariant orthonormal lattice を Clifford 代数を生成する Euclid 空間の次元が16以下の場合について一般構成の方法と分類を完成出来たことである。このタイプの一様離散部分群は最も基本的なものである。一番次元が低いHeisenberg 環(群)の場合は一つしかなくて、その部分群の分類は精細に行われている。同じようにそれらの部分群で更に一様離散部分群になっているものの分類は今後の問題の一つであるが、16次元以上の場合の構成と分類の問題に対する見通しと、この範疇のベキ零多様体に対するスペクトル逆問題への応用にも期待出来ることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍で2022年後半までは共同研究者とは直接出会って議論する機会がなく研究の進展がやや遅れていたが、2022年秋からは直接対面で議論を再開し、研究実績概要の項の（３）の問題が急速に進展し、現時点で原稿がほぼ完成した。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績概要の項の (3)について原稿の推敲をここ２ヶ月あまりの間に済ませ投稿することが今年度の最初に予定である。6月中旬から２ヶ月ほどドイツ ハノーバー大学に滞在し研究実績概要の項の（２）の問題を共同研究者と対面による研究を進める予定である。秋には本科研費を含め所属の大阪公立大学数学研究所からの補助も得て(決定済み)、研究集会「楕円型および劣楕円型作用素と関連する幾何構造」の題目で本研究の直接の進展及び今後の更なる発展にとって有意義であろう研究集会を上記研究所で開催する。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で予定していた出張や招聘が出来なかったので余剰が生じたが、約２年遅れで本研究計画の当初に予定していた代表者「古谷」のノルウェーへの出張(2022/10月-11月)及びそこからの招聘（2023年3-4月)が出来, 徐々に計画が回復して来た。2023年度(6月-8月)には代表者「古谷」のドイツ・ハノーバー大学への延び延びになっていた出張を実行し共同研究を行う為に予算を使う。又2023年秋（10月を予定）には所属の大阪公立大学数学研究所で研究集会「楕円型及び劣楕円型作用素と関連する幾何構造」の題目で研究集会を行うにあたっての補助に本科研費の残りを使用する。
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