2023 Fiscal Year Research-status Report
Integration by parts formulas for non-smooth diffusion processes and their applications
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20K03666
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
赤堀 次郎 立命館大学, 理工学部, 教授 (50309100)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 弱い微分 / 停止された拡散過程 / ジャンプ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
停止された拡散過程の弱い微分が存在することが証明できて、その拡張として半空間の拡張についても検討した。この２つのテーマが繋がっているが簡単な拡張ではないことが理解できた。１次元の場合では微分過程は連続であり、多次元の場合ではジャンプも現れることもある。そのジャンプの頻度は反射過程の逆Local timeによるものである。このような構造は多次元の特徴である。この一年間はいろんな共同研究者と議論できたのでこれから結果をまとめる方針である。
ジャンプ型確率過程の密度関数に関しての研究成果として次の２つの結果が出版された：１.ジャンプ型確率微分方程式の密度関数の存在となめらかさについて；従来の解析方法は無限次元解析であったがこの論文で小さなジャンプの頻度が無限である場合を考える（例えば安定過程の場合）。この設定では中心極限の概念により小さなジャンプの代わりにブラウン運動が利用できることがシミュレーション分野ではよく知られている。今回、この方法とパラメトリックス方法とinterpolation方法を組み合わせて結果が得られた。このような解析は従来の方法と異なるため他の問題でも適応できる可能性がある。２.この意味では安定過程の最大の密度関数に関しての解析を行った。安定過程のシミュレーション方法としてconvex majorants 方法とChambers-Mallows-Stuck方法の組み合わせで解析方法を構築できた。１.と比較すると密度関数のなめらかさと共に上からの評価が得られた。この評価は最適に近い評価であるため、解析方法が適切であることが期待できる。３.Wedgeでの反射付きのブラウン運動のシミュレーション方法を構築し、反射付き確率微分方程式の適応ができた。また、その方法の解析的な性質を述べ、証明をつけられた。これからこれを利用し、密度関数の解析に使えるかどうか検討したい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究を進めるためにいくつかの共同研究プロジェクトとして設定している。長い間共同研究者の移動制限があったので会えなかった。この一年間はできるだけ訪問するように努力したが時間の制限により一年間では時間が足りなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
この一年間はいろんな共同研究者の訪問があった。また、意見交換のためにいろんな研究会に参加し、研究成果に関して議論を行ったのでこれから論文としてまとめ、Journalに提出する予定である。特に部分積分公式に関していくつかの結果がすでに得られている。これから論文としてまとめ、国際Journalで出版するように努力する。この一年間は多次元の半空間の設定では停止された拡散過程の微分が定義できたと共に部分積分公式が得られた。従来の部分積分公式と比較すると出発点が境界に近くなっても利用できる。つまり、従来方法では出発点は境界にあると利用できなかった。その次に一般のなめらかで有界な領域の場合でも問題が解決できるのではないかと考え現在共同研究プロジェクトとして続けている。ただし、この場合では半空間と大分異なり、幾何学の技術を追加すべきである。幾何学ではチャートという概念を利用し解析を行うが停止された拡散過程を考えるときには気をつけないといけない点がいくつかある。１.チャートごとに半区間の理論が利用できるが拡散過程の軌道無限回をチャート変更する可能性があると解析が非常に複雑になるためそのようなことが起こらないように近似過程を構築する必要がある（証明方法は近似過程を利用するため）。２.証明方法では測度変換を利用している。半区間で行うとその測度変換はチャートに依存し、近似の極限が取れなくなる。
この２つの問題を解決すべきであり、半区間の場合での証明では現れない問題である。最後にWedgeの場合でも微分過程の定義はどのようなものになるのか興味深いテーマであるが今回は時間がないかもしれないが将来的に取り組みたい問題である。
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| Causes of Carryover |
コロナ関係が三年間の研究活動に影響し、共同研究者との直接の議論ができなかった。今年は学外研究制度を利用し、ある程度研究が進んだが研究の提案の遅れがあった。２０２４年度に完成できると考えている。
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