2020 Fiscal Year Research-status Report
New develpment of spectral and inverse scattering theory-Non linear problems and continuum limit
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20K03667
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 逆問題 / スペクトル理論 / シュレーディンガー作用素 / S行列 / ディリクレーノイマン写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
論文 Uniform asymptotic profiles for of stationary wave propagation in perturbed two-layered media を 専門誌 Math. Meth. in Apll. Sci. に出版した．これは2層に分かれた媒質の中でのヘルムホルツ方程式の解の無限遠での漸近展開を求める問題であるが，界面における透過，反射，全反射等によって解に特異性が生じるために困難であって長い間残されてきた問題であった．この問題が解決できたことは反動伝播問題における重要な進歩といってよい．論文 Inverse resonance scattering on rotationally symmetric manifolds において，回転体を表面にもつ多様体上のラプラシアンの散乱問題を考え，共鳴状態から多様体を決定する逆問題を解決した．著書 Inverse Spectral and Scattering Theory --- An Introduction を刊行した．これは1次元，多次元の双方にわたってシュレーディンガー作用素の境界値問題，あるいは散乱問題を考え，スペクトトルデータから元の多様体，あるいは物理系を再構成する逆問題の入門書である．大きな発展を見せているこの分野への入門書である．著書解析力学と微分方程式を刊行した．これは古典力学と常微分方程式，一階偏微分方程式との関連を考え，特殊相対論，量子力学の半古典近似，さらにハミルトンヤコビの方程式，シュレーディンガー方程式の変数分離の理論までを論じた数理物理学の入門書である．非線形波動方程式に関する逆散乱問題の研究をいくつかの部分に分けて遂行している．そのうちの超局所解析部分において進歩があった．散乱問題部分においても見通しを得ることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
論文1編が出版され，さらにもう1編が専門誌に掲載許可となった．逆スペクトル・散乱理論に関する著書と，解析力学に関する著書を出版した．さらに投稿中の論文があり，また近年中にまとめられる予定の研究が進行中である．しかしコロナウイルス蔓延による旅行の制限のため出張を行えず, E-mailや Skype によって共同研究を進めているが，研究連絡に支障が起こっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) グラフ上の逆問題の研究：有限グラフに対してはゲルファント逆問題を解決する．さらにランダムウオークに拡張する. 摂動した格子上の離散シュレーディンガー作用素の散乱逆問題に応用する．有限量子グラフに対するゲルファント逆問題を研究する．さらに無限量子グラフに対する逆散乱問題を研究する．そのために境界制御法を有限グラフに対して拡張する．量子グラフの逆散乱問題においてはS行列とディリクレノイマン写像の対応に関するより簡潔な方法を考える．正方格子に対応する量子グラフの逆散乱問題は完成しているので六角格子の場合の未解決問題を考える．(2) 半空間における定常弾性波動方程式の解の空間方向に関して平均の意味で一様な漸近展開理論を完成させる．特にレイリー波の導出を目指す．長期間にわたって行ってきたこの研究の主要部分は解決されているので最終的まとめに入る．(3) 多様体上の非線形波動方程式に関連した逆散乱問題を研究する. ペンローズダイアグラムによる問題の定式化を行う．そのためにコンパクト化を行うが，それに伴うグルサー問題と物理的空間における波動方程式の散乱解の無限遠における一意性との関係を考える．さらに非線形波動における特異性の伝播の超局所解析による研究を行う．（４）多体シュレーディンガー方程式，格子上のシュレーディンガー作用素の逆スペクトル問題の本の執筆を継続する．
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス問題のため研究のための出張が全くできなかった．今年度は多くの海外出張を予定している．
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