2023 Fiscal Year Annual Research Report
New develpment of spectral and inverse scattering theory-Non linear problems and continuum limit
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20K03667
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
磯崎 洋 立命館大学, 総合科学技術研究機構, プロジェクト研究員 (90111913)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | スペクトル理論 / 散乱理論 / 逆問題 / S行列 / ディリクレーノイマン写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
波動の散乱現象を観測することにより問題にしている空間の構造や物理系の特性を決定する逆問題を種々の多様体に対して展開することを目的として研究を進めた. 連続的な幾何学的多様体のみならず離散的な多様体、すなわち離散グラフに対しても共通の視点にもとづいて統一的な理論構成ができることを示すことを目標とした. この目標はいくつかの重要な例に対して達成できた.非コンパクトなリーマン多様体上のラプラシアンのスペクトル理論を展開し、ハイゼンベルグのS行列から多様体のトポロジーとリマン計量を決定する逆問題を完成した。この結果はさらに錘状の特異点を持つ多様体にも拡張され逆問題を論じられる多様体の範疇を拡大できた。３次元半空間における弾性体に対して連続スペクトルを記述する定常方程式の解の漸近展開を求めた. これは弾性体内部を伝わる実体波と表面のみを伝わるレーリー波を方向によらずに同時に導くものであり懸案の問題であった. さらに定常解の一意性を保証する放射条件を示唆しているという意味においても重要である.有限グラフ上のラプラシアンに対するGelfandの問題を解決した. これは固有値と固有ベクトルの境界上での情報からグラフの構造とポテンシャルを決定するという逆問題を解決したものでありこれも重要な懸案であった. さらにグラフ上のランダムウオークに関する逆問題に応用した. 無限に拡がった周期的格子を局所的に摂動した格子上のシュレーディンガー作用素においてハイゼンベルグのS行列からグラフの構造とポテンシャルを決定する逆問題を解決した. ローレンツ多様体上の非線形波動方程式に関する逆散乱問題の研究を進め,非線形グルサー問題の解の構成, 非線形S行列の構成等の問題において重要な進展を得た.
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