2020 Fiscal Year Research-status Report
Geometric analysis and Morse theory for Dirac type equations
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20K03674
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
磯部 健志 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ディラック-調和写像 / モースホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度は，トーラスに値を取る摂動的ディラック-調和写像のモース理論を研究した．ディラック-調和写像は，超対称性シグマ模型の数学モデルで，スピン多様体からターゲット多様体への写像（ボゾン膜）と，写像に沿った接ベクトル空間に値を取るスピノル（フェルミ膜）のペアからなり，写像のディリィクレエネルギーとスピノルのディラック作用がカップリングされた作用汎関数の臨界点として与えられる．数学的には，低空間を写像空間とするヒルベルトバンドル上の変分問題として定式化される．この変分問題は，臨界点におけるモース指数が無限大になるという意味で強不定値型であり，一般的な変分法（直接法，臨界点理論など）の枠組みでは捉えることができない．2019年度までの研究で，ターゲット多様体が平坦トーラスである場合は，問題を有限次元近似することで強不定値性の困難を克服し，臨界点理論を用いて摂動的ディラック-調和写像の存在定理および定性的性質を導いた．2020年度は，この問題の定量的な側面を調べるために，モース理論を研究した．作用汎関数が強不定値であるためフレアー流のモース理論におけるのと同じ意味での「正則化されたモース理論」を展開する必要がある．摂動項のスピン成分の無限遠方における増大オーダーに応じて問題は，a) 優２次型，b) 漸近２次型に大きく分類される．さらに b)はスピン成分の無限遠方における線形項が非退化かそうでないかに応じて b-i)漸近2次非退化型，b-ii)漸近2次退化型，に分類される．今年度はこれら４つの場合にそれぞれフレアー型のモース（コ）ホモロジーを定義し，（コ）ホモロジーの計算を実行し，摂動型の違いを（コ）ホモロジーという代数的量で捉えることに成功した．さらに，この計算結果から平坦トーラスに値を取る摂動型ディラック-調和写像の存在問題に対して「アーノルド予想」型の定理を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定通り，摂動型ディラック-調和写像に対してモースホモロジーの定義と計算を実行できたため，おおむね順調に進展していると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
摂動型ディラック-調和写像は，スピノル成分が自明であるような解，すなわち，（摂動型）調和写像を特別な解として持つ．2020年度までの研究結果だけでは，この自明な解以外に解が（いつ）存在するのかを判定することは（一般的には）できない．2021年度以降は，2020年度で定義したモースホモロジーを作用汎関数が退化した臨界点をもつ場合であるモース・ボット型のホモロージー論にまで拡張し，非自明な解の存在条件を与えたい．さらに，ターゲット多様体が特殊な平坦トーラスとは限らない，より一般的なクラスの多様体の場合にまで，2020年度までに得られたディラック-調和写像の存在定理を拡張する予定である．
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス感染拡大により，予定していた出張を全て取りやめたため，2020年度未使用額が発生した．2021年度以降のパンデミックの終息状況に依存するが，2021年度は研究打ち合わせや研究集会への参加の旅費として使用する計画である．
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