2021 Fiscal Year Research-status Report
Geometric analysis and Morse theory for Dirac type equations
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20K03674
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
磯部 健志 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | モース理論 / モースホモロジー / ディラック・調和写像 / スピン山辺方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2021年度は，摂動型ディラック・調和写像のモース理論とスピン山辺方程式の解の存在問題に関して研究を行った．
摂動型ディラック・調和写像のモース理論に関しては，2020年度までに完成していたモースホモロジーの構成及び計算に関する論文の執筆に力を注いだ．2020年度までに得たモース理論を応用することで，スピノルに関して漸近的に２次増大を持つ摂動に対してはディラック・調和写像の存在を証明できることはわかっていたが，それ以外の型の摂動に対しては有効な解の存在定理を証明することはできていなかった．2021年度はこの欠点を補うために，論文の執筆に加えて，2020年度までの結果を退化臨界点を含む，モース・ボット理論にまで拡張した．モース・ボットホモロジーの定義及び計算を与え，モースホモロジーの情報だけでは解の存在を証明することができなかったクラスの摂動型に対しても解の存在定理を証明した．また，この拡張により臨界多様体の存在に関してもいくつか新しい知見を得ることができた．
スピン山辺方程式は非線形項が臨界指数を持つ非線形のディラック方程式であり，変分問題としては，ディラック作用素のスペクトルの非有界性に由来する強不定値性と非線形項の臨界増大に由来する臨界性という無限次元特有の困難を２つとも備えた難しい問題である．この問題に関しては，2012年に球面上の場合に解の存在定理を証明していた．本研究では，スピン山辺方程式の有限次元簡約を詳しく解析することにより，一般的な状況下では，2012年に見つけた解以外にも解が存在すること，更にその解の個数の下限は次元によって変化し，一般的には球面の次元に関する指数関数で与えられることを証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2021年度の目標としていた，ディラック・調和写像のモース・ボットホモロジーの構成を実行できたため，おおむね順調に進展していると自己評価した．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はディラック・調和写像に関してはモース・ボットホモロジーの論文の執筆を進めていきたい．また，ターゲット多様体が平坦でない場合のディラック・調和写像の存在問題とモースホモロジーの構成にも着手したいと考えている．
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| Causes of Carryover |
コロナウイルスの影響で予定していた出張を取りやめたために次年度使用額が発生した．2022年度の出張費やウェブ会議，研究集会等の出席に必要な機器の購入に充てる予定である．
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