2023 Fiscal Year Research-status Report

Geometric analysis and Morse theory for Dirac type equations

Research Project

Project/Area Number	20K03674
Research Institution	Hitotsubashi University
Principal Investigator	磯部健志一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Keywords	ディラック・測地線 / スピン山辺方程式 / 臨界点理論 / モース理論 / コンパクト性
Outline of Annual Research Achievements	2023年度は，2022年度から継続してディラック・調和写像に対するモース・ボットホモロジーに関する論文の作成とディラック・測地線の存在問題，及びスピン山辺方程式の解空間のコンパクト性に関して研究し成果を得た．ディラック・調和写像に対するモース・ボットホモロジーの構成は2022年度までの研究で一通り完成させていたが，2023年度はその結果を論文としてまとめ上げる作業を行なった．2023年度末までで一通り論文を書き終わり，あとは推敲作業を残すのみである．ディラック・測地線の研究に関しては，2022年度までのトーラスを標的多様体とする場合のディラック・調和写像の研究により，一般の標的多様体の場合にも解の個数が標的多様体のコホモロジー環のカップ長による下からの評価を持つことを予想していた．2023年度の研究では，初めに非線形摂動項が特別な形をした幾つかの場合を詳細かつ具体的に調べることでシンプレクティック多様体上のハミルトン系の周期解の存在に関するアーノルド予想に類似した，解の個数の下限評価がこれらの特別な場合に成り立つことを確かめ，この結果は一般の場合にも成り立つであろうという予想を立てた．一般の標的多様体の場合にこの予想を証明することは，技術的な理由により，2023年度中の研究ではできなかったが，標的多様体の曲率が負である場合には一般的な場合に予想が正しいことを証明した．スピン山辺問題に関しては，2022年度までの研究で，球面上の一般的な標準計量の摂動及び定数ポテンシャルの一般的な摂動に対して，解の空間は非コンパクトであることを予想していた．2023年度の研究では具体的に解空間が非コンパクトとなるような球面上の標準計量の摂動及び定数関数の摂動を構成した．これはスピン山辺方程式の非コンパクト性を証明した最初の結果である．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当初の予定通り研究が進んだためおおむね順調に進展していると判断する。
Strategy for Future Research Activity	今後も，ディラック・測地線，ディラック・調和写像，及びスピン山辺方程式の研究を継続して行う．ディラック・測地線に関しては標的多様体の曲率の条件が外せるかどうかを考察する．また，負曲率（あるいは一般の場合に）標的多様体の場合にモース・ホモロジーの構成可能性を考察し，2023年度に得られた結果の精密化を行う．ディラック・調和写像に関しては2022年度までの結果を一般の標的多様体にまで拡張できるかどうかの考察を行う．スピン山辺方程式に関しては，2023年度は考察を球面上の場合に限定したが，2023年度に証明した結果は一般のスピン多様体上でも，多様体の次元の制限のもとで，成り立つことが予想される．2024年度以降は，この一般的な場合の予想の証明に向けて考察を行う．
Causes of Carryover	予定していた出張がオンラインで実施されることになったため次年度使用額が生じた．2024年度は出張費用として使用する予定である．