2021 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis on the linear response for solutions of mean field equations
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20K03675
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
大塚 浩史 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20342470)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 線形応答 / 点渦系 / 平均場 / 非線形楕円型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平均場とは、離散的な存在である粒子系において、粒子数を無限大にした極限（平均場極限）に現れる粒子の連続的な分布関数のことである。平均場方程式とは、このような平均場が満たす方程式であり、粒子系が平衡状態にある場合、その多くは半線形楕円型偏微分方程式になる。線形応答とは、平衡状態にある物理系に対し、平衡状態を崩すことなく外力により摂動したとき、状態に生じる変化の外力に関するガトー微分のことである。すなわち本研究の対象は、半線形楕円型偏微分方程式の摂動問題及び摂動に関する線形化問題である。
このような対象は偏微分方程式の研究として一般的だが、本研究の特色は、この一般的な対象を、平均場の由来である粒子系に遡って摂動を加え、粒子系の線形応答を求め、その線形応答の平均場極限を通して考察することにある。すなわち、粒子系から見て、粒子数を無限大にする平均場極限と摂動系のガトー微分という二つの極限操作の順序による差異の解明が、本研究の目的である。
このような極限操作の順序交換の考察は解析学の標準的な問題意識だが、偏微分方程式の研究として考察された前例は少ないと思われる。一方物理学では、原子配列が不規則に揺らいだ状態が固体化した非晶質（アモルファス）に対して、類似の考察がされている。極限操作が可換になる粒子系の条件や可換にならない例は、解析学と物理学の双方に興味深い事実を与えると思われる。
研究実施計画に従い、これまでの研究の精密化である平均場方程式の基礎研究を進めるとともに、オランダの研究者と確率論を用いた共同研究を開始し、論文執筆を進めている。また、onlineセミナーや海外の大学のセミナーで講演し、研究に関する意見交換を行うことが出来た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度もCOVID-19による影響は甚大であったが、サバティカルであったことを活かし、海外を含め対面での研究連絡をある程度実施できた。これを通して、平均場方程式の基礎研究、これまで理解が不十分であった確率論を用いた研究を進め、論文執筆を開始することが出来た。また、遠隔開催された研究集会にも積極的に参加し、研究計画にある平均場方程式の基礎研究（平均場方程式の摂動問題の解の非退化性、一意性など）などの情報収集を進められた。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に従い、平均場方程式の基礎研究（平均場方程式の摂動問題の解の非退化性、一意性など）を進めると共に、今年度進められた確率論を用いた上記極限操作の順序交換の解析を進める。混合点渦系や、特異性がない相互作用の場合など、適宜柔軟に研究を進める予定である。十全ではないかもしれないが、インターネットを用いた遠隔による研究連絡も活用し、研究遂行に努める。
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| Causes of Carryover |
COVID-19の状況が前年度に比して改善したため、ある程度の出張を実現できたが、まだ国内外への出張の多くが実現できなかった。状況は確実に改善しているので、次年度に多くを実現できると判断し、直接経費を残すことにした。これが難しい場合は、引き続き研究資料の収集と研究環境の整備を進める。
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