2021 Fiscal Year Research-status Report
微分方程式の適切性理論－ベクトル空間の枠を超えた展開－
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20K03677
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
田中 直樹 静岡大学, 理学部, 教授 (00207119)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 定義域が稠密でない作用素 / サイズ構造モデル / 安定性条件 / 解の初期値に関する連続的依存性 / 距離空間における勾配流 / 変異解析 / 劣微分作用素理論 / 二重非線形発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
[1] 時間に依存する単調作用素、劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張：発展方程式の枠組みの拡張として、サイズ構造モデルの抽象化として出現する、定義域が稠密でない作用素に支配される方程式を考察対象に選び、同僚の松本氏と共同で、適切な安定性条件のもと、時間差分近似法による解の構成を戦略として、方程式の初期値問題に対する適切性定理を確立し、原稿を執筆中である。
[2] 変異解析が秘める可能性の追究－距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指して－について：距離空間において微分を表現するための数学的道具である transition の半群性が、変異解析における主要結果を導出する際に重要な役割を果たしている一方で、ファジー集合に係る形状変化を捉える手法への応用に制限となることを明らかにした。 transition の半群性が欠如する場合を考察し、変異解析が秘める可能性の追究を目指すこととした。
[3] 距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ－：本研究課題は、Brezis により展開された非線形放物型方程式へ豊富な応用をもつヒルベルト空間における劣微分作用素の理論を距離空間へ一般化、非自励化するものである。解の初期値に関する連続的依存性に着目する接近法とは異なる視点として、東北大学の赤木氏と共同で、存在性に焦点を絞った研究の方向性を模索し、劣微分作用素理論を軸とした二重非線形発展方程式の可解性の考察を通じて、新たな知見を得た（学会発表）。それに基づき、本研究課題に取組中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和４年度以降の研究実施としていた「距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ－」の準備として、東北大学の赤木氏と共同で、変数指数の空間に応用可能な２重非線形方程式の初期値問題の可解性に着手し、新たに得られた知見を日本数学会において発表した。また、原稿を投稿中であった、カラテオドリー条件を満たす準線形作用素に支配される発展方程式の初期値問題に関する適切性定理および近似定理に係る論文が掲載された。令和３年度に着手予定であった「変異解析が秘める可能性の追究－距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指して－」について、令和２年度に、関数空間の選択に制約をかける transition に対するリプシッツ連続性条件の除去に成功していたが、本年度は、さらに transition の半群性が、ファジー集合に係る形状変化を捉える手法への応用に制限となることを明らかにし、transition の半群性が欠如する場合の考察を通じて、変異解析が秘める可能性の追究をより一層進めることとしている。
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| Strategy for Future Research Activity |
微分方程式のイメージと結びつきにくい連続性の条件に着目しながら、主目的である「非自励な方程式系の初期値問題の適切性」へ挑みたい。さらに、「変異解析が秘める可能性の追究－距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指して－」について、Hadamard 空間などの具体的な距離空間における微分方程式やファジー集合に係る形状変化を捉える手法への応用を視野に入れた研究活動にしていきたい。抽象的空間における方程式の初期値問題に対する適切性定理の確立は、transition の半群性が欠如する場合の考察を通じた変異解析が秘める可能性の追究により可能であると期待している。
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| Causes of Carryover |
（理由）
当初予定していた研究集会への現地参加、対面での研究打ち合わせ、外国人招聘が、新型コロナウイルス感染症の影響により実施できなかったため。
（使用計画）
新型コロナウイルス感染症の影響を考慮しながら、研究が円滑に実施できる環境を整備する予定である。
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Research Products
(4 results)
