2021 Fiscal Year Research-status Report
Cauchy problem for differential operators with triple effectively hyperbolic characteristics
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20K03679
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
西谷 達雄 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80127117)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Bezout 形式 / 対称化行列 / 実効双曲型特性点 / Tricomi 作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分作用素 P の主表象 p と，p の時間余方向に関する微分 p' との Bezout 形式 S を考える．この S は半正定符号で，P に対する方程式を標準的な方法で一階の系に変換した時，この系の対称化行列（symmetrizer）となる．前年度に引き続き，この symmetrizer の方法を３次実効双曲型特性点をもつ一般の作用素に応用することを試みた．S が正定符号のとき最小固有値は p の時間余方向に関する判別式と p' の時間余方向に関する判別式の比で下から評価されるという著しい性質をもつ．p の３次実効双曲型特性点の超局所近傍では p の時間余方向に関する判別式は本質的には時間 t の３次多項式， p' の時間余方向に関する判別式は本質的に t の２次多項式となる．そこでこの判別式の比は本質的には t の一次式と考えられるから，この判別式の比を下から評価する t の一次式を探した．しかしながら具体的な例によって，一般的には滑らかな関数でこの比を下から評価することはできないことがわかった．さらに，p の３次実効双曲型特性点が t=0 上に存在する時には，t が負の部分で p には必ず実でない複素特性根が存在することが分かっている（従って Tricomi 作用素の一般化になっている）．これらの事実を考慮しながら，判別式の比を詳細に調べて，最終的にこの比が下から，関数 t とある別の関数 t-f の max で評価できることを示した．ただしここで f は３次実効双曲型特性点の超局所近傍上の関数で，一般の意味では滑らかにならないのでこの f の導関数達の評価を詳しく調た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
考える作用素 P の主表象の係数が時間変数 t のみに依存する時には当初目的の Ivrii 予想の証明に成功した．さらに同じ方法を一般の場合に適用するために必要と考えられる，p の時間余方向に関する判別式と p' の時間余方向に関する判別式の比を下から評価する関数の存在についても証明できた．
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| Strategy for Future Research Activity |
p の時間余方向に関する判別式と p' の時間余方向に関する判別式の比を下から評価する関数の存在がわかったので，この関数を表象として含む擬微分作用素の Wyle calculus を構築し，この calculus を利用してエネルギー評価式を導き，Ivrii 予想の一般解決に進む．
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症の感染拡大により，予定していたすべての国内外出張を中止せざるを得なかった．新型コロナ感染症の収束状況によるが，中止した国内外の出張費に充てる．
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