2020 Fiscal Year Research-status Report
On the analysis of critical type equation involving a noncompact structure from the profile-decomposition point of view
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20K03681
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | プロファイル分解 / 非コンパクト性 / 半線型放物型方程式 / 抽象力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020 年度は１．「全空間で定義された半線型放物型方程式の時間大域解の漸近挙動」２．「G-不変かつ有界な軌道を持つ力学系の漸近挙動」３．「プロファイル分解定理の一般位相空間論からの位置づけ」に関する研究を行った。
課題１．については、これまで「平衡解をプロファイルとする擬進行波解に漸近する時刻列が存在する」ことが既存の研究により知られていた。研究代表者は、解の属するべき全空間上のソボレフ空間が、全空間における平行移動から生成される群作用について不変であるため、プロファイル分解定理を用いた解析が可能であることに着目し、任意の時刻列に沿った解のプロファイル分解を分析することで、上記の挙動が任意の時刻列に沿って成り立つことを証明した。これは、研究代表者によって導入された、プロファイル分解を用いた漸近挙動の解析手法の、方程式横断的な有効性をさらに支持する結果である。
次に上記の結果を抽象論として定式化するため、課題２．として、無限次元力学系に対するラサールの原理「相対コンパクトな軌道のオメガ極限集合は定常解からなる集合に含まれる」を、変位群 G が不変に作用する仮定の下で、有界軌道に対して拡張した。その結果、有界軌道に対しても上記のラサールの原理の結論が、オメガ極限集合、及び定常開集合を、G作用を用いて適切に拡張すれば成り立つことが示された。これは課題１で用いた解析手法が、具体的な方程式に対してだけでなく、抽象的な手法として定式化可能であることを示している。
以上の成功を受け、プロファイル分解の内包する一般的性質を剔抉するべく、プロファイル分解定理で与えられる収束を、一般位相空間論における何らかの収束と見做せるような適切な位相を導入することを検討した。現在のところこれについてははかばかしい結果を得ていないが、Taoによる超冪モデル内での議論を拡張できるかどうか検討中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請書にある本研究課題の主な研究項目は１．非コンパクトなエネルギー構造を持つ時間発展方程式の解挙動のプロファイル分解を用いた解析２．１の結果の抽象化３．プロファイル分解定理の数学的側面の探求の三つである。
課題１についてはこれまでに臨界ソボレフ指数を持つ半線型放物型方程式の解析、及び全空間上で定義された半線型放物型方程式の解挙動について、プロファイル分解に基づく解析を行い、当初見込んでいた研究成果の方向で現在までに部分的結果を得られている。
課題２については、抽象論の突破口となるはずのラサールの不変原理の、有界軌道に対する拡張を、プロファイル分解を用いて得られている。
課題３については、当初もくろんでいたプロファイル分解の一般位相空間論の立場からの特徴づけには至っていない。
以上の総括から、標記の進捗状況判断を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
具体的な時間発展方程式の、相空間で有界だが非コンパクトな解の漸近挙動に対するプロファイル分解を用いた解析については、引き続き(1)臨界ソボレフ指数をもつ半線型放物型方程式、(2)全空間で定義された半線型放物型方程式及び(3)平均曲率一定曲面に関する熱流方程式を扱う。
(1)については時間大域解の解析がほぼ終了しているので、同様の解析手法が有限時間爆発解の漸近挙動の解析に有効かどうかを検討する。それには与えられた方程式を後方自己相似変換し、有限時間爆発解を変換された方程式の時間大域解に書き直し、そのプロファイル分解を考察することになるが、ここでの課題は、変換後の方程式に対するエネルギー汎関数が、空間無限遠で減衰する重み函数を含むため、解の空間無限遠点での情報を得られないことである。この点について突破口を得ることを考える。
(2)については時間大域解の挙動はほぼ解析できたので、安定集合・不安定集合の存在を議論し、初期値空間内での大域的な漸近挙動の分類を行う。
(3)についてはプロファイル分解に関する基礎的な解析を行った段階であり、今後(1)(2)で培ったストーリーラインに沿った解析を進める。
抽象論としては、変位群Gの作用の下で共変な抽象発展方程式の可解性の理論を構築することを目指す。これには、摂動項を吉田近似して得られる近似方程式の解の族が、元の方程式の解に適切な位相の下で収束することを確立することがカギとなるが、近似解のプロファイルがどのような意味で元の方程式と関係するかを明らかにする。現在得られた部分的結果からは、得られた近似解のプロファイルは、ゼロ初期値に対する元の方程式の解になっていることが示唆される。
プロファイル分解に関する数学的理論の展開については、引き続き一般位相空間論の枠組みでのプロファイル分解定理の解釈の確立（適切な位相の定義の導入）を試みる。
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| Causes of Carryover |
コロナのため予定していた国内研究集会、国内研究連絡、海外研究集会参加、海外研究連絡、研究者の招聘がことごとく不可能であったため。
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