2020 Fiscal Year Research-status Report
Study of a movable singular point of a Hamiltonian system and Borel summability
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20K03683
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
吉野 正史 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 名誉教授 (00145658)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 動く特異点 / ハミルトン系 / 動く分岐点 / バーコフ変換理論 / ボレル総和法 / 爆発解 / 非線形放物型方程式 / パンルベ性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は非線形波動、非線形放物型、非線形シュレディンガー方程式等の自己相似爆発解の構成において現れるハミルトン系の動く特異点を力学系の視点から研究することである。これらの方程式達は最近興味を持たれている量子現象の応用において重要な役割を演ずる方程式でもある。解の爆発は現象からも理論の視点からも興味あるテーマであり、パンルベ性などの特異点の単純な構造を解が持たないため、これらの方程式の動く分岐点の研究は進んでいなかった。
本年度は動く分岐点を持つ解の存在とその性質や構造を知るための基礎理論整備を行い、研究を進めるうえで重要な点である次の2点を中心に研究を行った。すなわち、バーコフ変換理論を動く特異点の研究に適用する手法の開発ーそれにより、動く特異点を持つ解を楕円関数等を用いて表示し、その構造を知ることが可能になるー、理論全体において解析的な基礎を与える道具である偏微分方程式に対する大域的なボレル総和法の研究である。
得られた結果は以下のとおりである。後者については、偏微分方程式に対する大域的なボレル総和法が新しい点であり、ボレル総和法で大域性を保証できるような理論構成を行い、本研究に利用可能にした。この結果は論文としてまとめられ受理された。またこの内容について国際会議（アルカラ、スペイン）で招待講演を行った。前者については上述の方程式達に対して、バーコフ変換理論を拡張して、動く特異点の構成に使えるような理論構成を行った。さらに楕円関数による動く分岐点を持つ解の構成法を示した。この方法は複数の動く特異点を持つ解も構成でき、KAMトーラスとの関係もわかる。これらの結果は論文としてすでに投稿し、広島大学での研究会で研究報告をおこなった。また研究テーマの発展として、超級数のボレル総和可能性も研究して証明を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は動く分岐点を持つ解の存在とその性質や構造を知るための基礎理論整備を主な目的としていた。これに対し本年度の成果として、理論全体において解析的な基礎を与える「偏微分方程式に対する大域的なボレル総和法」については、本研究で必要とされる結果は証明された。この結果は論文として投稿し受理された。また他の目的であるバーコフ変換理論の当該研究への応用のための拡張も証明でき、論文としてまとめ投稿した。これらのことより、予定した主な部分は達成された。他方、国際会議の招待講演は予定したほどには進まず、国際会議への参加や国際交流等も現在の社会情勢により予定したものはほとんど延期あるいは中断せざるを得ない状況である。現在のところ、隔週で実施される遠隔会議を用いた国際ワークショップに参加して、国内外の研究者と研究討論を行っている。この状況は、現在の世界の状況を俯瞰するとしばらく継続せざるを得ないと思われる。これらのことより、予定した研究計画の一部は予定通り進まず、予算の執行が予定通りでない理由の一つになっている。他方、このことにより、時間的に余裕ができたので、本研究の後半で予定していた超級数のボレル総和可能性の証明に取り組み、証明に成功した。これは本年度の計画とは異なるが、当該研究で取り組んでいる基礎理論の有用性の一つの例を与えているとみなせる。これらのことを総合的に判断して、研究計画はおおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究推進方策は申請した計画に沿って実行する。本年度の成果により、基礎的な理論構成はおおむねできたので、今後は動く特異点や解の爆発をより力学系の視点から研究する方向に重点をおいて推進する。具体的に、動く特異点の研究、特に分岐点に注目して特異点の分布とその構造、ハミルトン系のKAMトーラスとの関係を調べる。それらの結果を用いて、爆発解の構造についてどのような知見がえられるかという点に取り組む。また動く特異点を曲や分岐点のほか一般に、真性特異点あるいは自然境界にまで広げて解を構成する方法を考案したり、特異点の構造の研究を実行する。この場合、解の構成において発散があらわれ、真性特異点の研究では超級数のボレル総和可能性が基礎になる。すでに前年度に一部の研究を実行しているが、今年度も引き続き継続して取り組む。超級数解の構成は、最近、数理物理でも注目されているが、本研究の視点は、より力学系のアイデアを生かした方法を開発することにある。さらにこれらの研究の先にある非線形方程式の接続問題にも取り組み、超級数のボレル和をもとにしてそれの接続理論を力学系の視点から構成することを今後のテーマにする。
また研究の手段でも修正を実行する。現在の厳しい社会情勢により、国際会議やワークショップを用いた手法に対する制約が大きくなっており、情報機器を用いた遠隔会議システムにシフトさせる。現在実行している遠隔会議システムをもちいた定例研究会あるいは国際会議を基本とし、これを積極的に生かして、研究の効率化をはかる。現在の社会情勢が緩和してもすべてがもとに戻るとは考えにくく、新しい取り組みとして改良を続け、今後の研究に生かす。研究費は出張の機会が減少しているので、旅費に配分する費用の一部をより遠隔機器を用いた討論等情報関係の費用に振り向けるなどの対応をとる。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由の大きなものは以下の通りである。招待講演あるいは参加予定であった国際会議が、世界の状況により、その多くが急遽延期または遠隔開催になり出張が取りやめになった。また、年数回の国内の学会が遠隔開催になり、参加旅費が不要になった。その他の多くの研究会もリモート開催になり、出張旅費が不要になった。なお、それ以外の支出は予定されたものと大きな変化はなかった。
翌年度の使用計画に関しては、国際会議の開催が予定され、延期された分も合わせて出張が予定されているので、その費用として使用する予定である。また国内学会と例年開催される研究集会も開催予定であり、それらの出張費用として用いる予定である。その他、研究発表のため必要な端末の購入費用、遠隔会議用の資料作成等で用いるソフトの購入、文献、専門書の購入も予定している。これらの追加費用はおおむね繰り越された金額と等しくなると想定している。その他の支出は、研究計画にあらかじめ計画された支出を予定している。
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