2020 Fiscal Year Research-status Report
非線形放物型偏微分方程式における定常構造および自己相似性と解の挙動
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20K03685
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
内藤 雄基 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10231458)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
橋詰 雅斗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理)), 日本学術振興会特別研究員(PD) (20836712)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形解析 / 楕円型偏微分方程式 / 特異解 / 優 Sobolev 臨界 / 走化性方程式系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形問題における特徴的な現象においては、スケール不変性などの方程式のもつ性質や、定常問題の解構造が重要な働きをすることが知られている。本研究では、非線形放物型方程式に対して、解の挙動と定常問題の解構造および自己相似性との関連性について考察を行う。とくに Sobolev 優臨界および Sobolev 臨界の場合において、特異定常解および自己相似解の構造を明らかにするとともに放物型方程式の解の振る舞いに及ぼす影響を考察する。
今年度は、優 Sobolev 臨界非線形項を持つ楕円型方程式における特異解の存在、一意性、漸近的性質について考察を行った。非線形項が、べき乗に摂動が加わる場合、あるいは指数関数に摂動が加わる場合、それぞれの場合に、特異解の存在、一意性、漸近的性質を示すことができた。先行研究では、摂動についてのオーダーを指定する必要があったが、本研究では、Banach 空間における不動点定理を用いる代わりにPohozaev 型恒等式および先験的評価を利用することによりオーダーの指定なしで解の存在と漸近的性質を同時に示すことができた。この応用として非線形楕円型偏微分方程式に対する分岐問題に対して特異解をもつ分岐パラメータは一意であること、解の最大値パラメータを無限大にすると特異解に収束することを明らかにすることができた。さらに全空間における特異解の一意存在性と有界領域における特異解の存在性に関する相互補完的な性質を明らかにした。
また高次元空間における単純化された走化性方程式系に対して、Cauchy 問題における定常解の役割について考察を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形楕円型偏微分方程式の解構造、特異解の構成および非線形放物型偏微分方程式の特異解の構成において、優Sobolev 臨界における典型的な非線形項をもつ方程式に対して定性的性質に関する結果を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
優 Sobolev 臨界におけるさらに一般のクラスの非線形楕円型偏微分方程式の特異解の定性的性質を明らかにするとともに、関連する放物型偏微分方程式、走化性非線形系に対しても研究を進めたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナの影響により予定していた研究集会への参加および研究打ち合わせが、すべてキャンセルとなったため、今年度の研究打ち合わせ旅費に未使用学が生じた。それらは、次年度における研究集会参加旅費および研究打ち合わせの経費に充てることとしたい。
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Research Products
(5 results)
