2020 Fiscal Year Research-status Report
Advancement in viscosity solution theory: asymptotic and boundary value problems
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20K03688
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
石井 仁司 津田塾大学, 数学・計算機科学研究所, 研究員 (70102887)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
熊谷 大雅 舞鶴工業高等専門学校, その他部局等, 助教 (70802081)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 粘性解 / 漸近問題 / 境界値問題 / 退化楕円型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ハミルトン・ヤコビ方程式の連立系に対する割引率消去問題の研究を推進し、特に弱連立系と呼ばれる場合でしかも未知関数に対する連立係数が空間依存する場合を詳しく調べた。この研究ではMather測度の一般化を導入して割引率消去に伴う解の収束の極限関数の決定を行った。しかしながら、この収束定理では極限方程式系に対する解の存在を仮定している。一般の状況では解の収束を保証する十分な評価が得られておらず、今後も研究を継続する必要がある。非線形連立系に対してMather測度の一般化を導入して割引率消去に伴う解の収束の証明を行った。この研究ではMather測度の一般化の導入に当たり方程式系の単調性を仮定することで極めて一般的な結果を得ることが出来た。粘性解理論の基本ともいえる比較原理に関連して、Crandallと研究代表者石井による半連続関数に対する最大値原理（雑誌：Differential Integral Equations, 1990年）を積分微分方程式に対して有用な形に最大値原理を一般化した。得られた定理はこれまでに知られていた最大値原理に比べて応用上扱いやすい。上記の最大値原理を数理ファイナンスにおけるBarndorff-NielsenとShephardが提案したボラティリティの時間発展を含むオプション価格決定プロセスへの確率制御・粘性解アプローチに対して応用した。最大値原理に現れる行列不等式に関連した条件が行列間のある種の距離に関するリプシッツ連続性と関連していることを発見した。研究分担者の熊谷が進めて来たハミルトン・ヤコビ方程式の発散ゼロのベクトル場による摂動極限の研究を進め、ハミルトニアンの凸性の条件がどの程度重要であるかを検討した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
提案した課題を全て解決した訳ではないが、粘性解理論の基本的な課題への貢献もあり、漸近問題においても十分な貢献が出来たものと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
割引率消去問題について、ハミルトン・ヤコビ方程式系を対象にした研究を更に進める。特に、エルゴード問題の可解性を一層研究する。最大値原理に現れる行列不等式と行列の間のある種の距離に関する性質との関連を明確にしてその応用の研究を行う。角のある領域上でのノイマン型境界条件に関して比較定理が成立するための条件を中心に境界値問題の可解性の問題の研究を進める。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスによるパンデミックにより国内及び国外での研究集会への参加、研究機関への訪問等が極めて困難な状況となり、専門研究者と対面での情報交換、共同研究が困難になった。このために予算の未使用が生じ、また研究上も大きな打撃となっている。パンデミックの早期の終息を期待し、次年度に初期の計画以上の出張訪問等の活動を活発に行い研究上の遅れを作らない様にしようと考えている。
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