2021 Fiscal Year Research-status Report
Advancement in viscosity solution theory: asymptotic and boundary value problems
| Project/Area Number |
20K03688
|
|---|
| Research Institution | Tsuda University |
|---|
Principal Investigator |
石井 仁司 津田塾大学, 数学・計算機科学研究所, 研究員 (70102887)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
熊谷 大雅 舞鶴工業高等専門学校, その他部局等, 助教 (70802081)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 関数方程式 / 粘性解 / 漸近問題 / 境界値問題 / 退化楕円型方程式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
ハミルトニアンが未知関数に陽に依存するハミルトン・ヤコビ方程式の初期値問題の研究を行った。ハミルトニアンの未知関数への依存性が一様にリプシッツ連続であると仮定し、Barron-Jensenにより導入された下半連続解の概念がこの問題に適合していることを示したことが基本的な結果と言える。この解について、比較原理を証明し、下半連続関数を初期関数とする初期値問題の解の存在定理を確立した。更に、この解が対応した制御問題の値関数として表現できることを示し、解の時間無限大での収束の為の十分条件を導き、定常問題の解の分類を行った。空間2次元の場合に限定して、領域としては第一象限を取り上げ、非線形ノイマン型境界条件を持つハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の可解性を研究した。この様な角のある領域に対する既存の研究結果では、境界条件に正斉次性を課した研究が知られているが、正斉次性の条件を取り除いた可解性の結果を得ることが出来た。空間次元が2次元に限られること、空間2次元に限っても強い条件を課す結果であることなど今後の課題は大きい。角のある領域ではどのようなノイマン型境界条件が粘性解の存在と一意性を保証するかという基本問題には未だ何も答えられていない状況であり、問題へのアプローチにも検討課題が多い。ハミルトン・ヤコビ方程式系に対する割引率消去問題に関連して、割引率消去の際に極限関数の一意性を保証する条件として、系の単調性に加えて未知関数に関する方程式の凸性が既存の結果では要請される。この凸性の要請が妥当であるかことを示す例がB. Ziliottoにより示されている。これに関連して、より本質が分かりやすい例の構成を行った。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
提案した課題の全てには対応できてはいないが、角のある領域上でのノイマン型境界値問題に先鞭を付けることが出来た。これは粘性解理論の基本的な課題への貢献と言える。漸近問題においても反例の構成を行い、新しい貢献が出来たものと考えている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
角のある領域上でのノイマン型境界条件に関して比較定理が成立するための条件を中心に境界値問題の可解性の問題の研究を推進する。割引率消去問題について、ハミルトン・ヤコビ方程式系を対象にした研究を更に進める。最大値原理に現れる行列不等式と行列の間のある種の距離に関する性質との関連を明確にしてその応用の研究を行う。部分ラプラス方程式の積分方程式版の研究が進んでいるので、この関連の問題に貢献していく。
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスによるパンデミックにより、国内及び海外での研究集会への参加、研究機関への訪問が極めて困難であったために専門研究者との対面での情報交換、共同研究が困難になった。このための予算の未使用が生じている。研究上も大きな打撃となっている。パンデミックによる移動の制限が緩みつつあるので、次年度にはこれまで果たせなかった出張訪問を実施して、研究活動の活発化を図る。
|
