2023 Fiscal Year Research-status Report
Advancement in viscosity solution theory: asymptotic and boundary value problems
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20K03688
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
石井 仁司 津田塾大学, 数学・計算機科学研究所, 研究員 (70102887)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
熊谷 大雅 舞鶴工業高等専門学校, その他部局等, 講師 (70802081)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 粘性解 / 漸近問題 / 境界値問題 / 退化楕円型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究を基盤として、粘性解理論の新展開を図り、完全非線形偏微分方程式に対する漸近問題と境界値問題を中心に理論と応用の両面で粘性解研究を推進した。ハミルトン・ヤコビ方程式の連立系に対する割引率消去問題の研究を進め次のような成果を得た。割引率消去の極限に於ける連立系の粘性解の（部分列を取ることなく）全列収束が成り立つためには連立系の未知関数に関する凸性が必要であることを研究論文として出版した。割引率消去における凸性の必要性についての成果をより正確に言えば、未知関数に関する凸性を持たない連立系の例を挙げ、この例に於いて割引率消去の極限で粘性解が全列収束しないことを示した。この様な例はB. Ziliottoの論文に於いて陰に示されていたが、本研究では全列収束が成立しない見通しの良い新しい例を構成した。境界値問題について
は、２次元ユークリッド平面における角のある領域に対する非線形ノイマン境界条件を持つ完全非線形退化楕円型境界値問題の研究を進めた。これまでの研究の詳細を再点検し、2次元平面に限定して粘性解に対する比較原理が成立するようなより広いクラスの境界条件を探求したが決定的な結論に至っていない。更に、正斉次ノイマン型境界条件に限定して研究を進めた。部分ラプラス(truncated Laplace)作用素を主要項とする微分方程式に対する粘性解と関連する積分方程式についての研究を行った。部分ラプラス作用素におけるラプラス作用素を分数冪ラプラス作用素に置き替えた方程式を対象に据え、非負粘性解の零集合の構造を明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
これまでの本課題の研究により粘性解理論の基本的な課題への貢献及び漸近問題における貢献が出来た。しかし、主要な課題である角のある領域における非線形ノイマン型境界値問題、割引率消去問題、部分ラプラス方程式の解の性質の研究は完成度が不十分であり更に研究を進める必要がある。海外研究者の招聘による共同研究の遂行にも遅れがある。
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| Strategy for Future Research Activity |
境界値問題の可解性の研究として、特にノイマン型境界条件の研究を2次元平面上で集中的に研究して来たが、2次元の場合に正斉次ノイマン型境界条件の場合の研究を完成させ、さらに高次元空間での研究を進める。割引率消去問題に関して、完全非線形退化楕円型方程式に対するマザー測度の再検討を行う。2階の方程式に対してこれまでに導入された（一般化された）マザー測度は個々の方程式に対する依存度が強いので、いろいろな漸近問題への応用には困難がある。広いクラスの完全非線形退化楕円型方程式に対して同時に適用可能な一般化されたマザー測度の導入とその応用を図る。同時に分数冪ラプラシアンを含む微分積分方程式に対する割引率消去問題の研究を進める。部分ラプラス方程式の積分方程式版の研究を進める。特に半空間におけるリューヴィル型定理の確立を目指す。更に部分ラプラス方程式に対する粘性解の存在定理の完成を図る。海外研究者の招聘による共同研究の推進を図る。
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症の影響で研究遂行が遅れる状況にあったが、特に本課題に関する海外での研究成果の公表および海外研究者の招聘が研究代表者の健康上の理由もあり実現できなかった。国内での課題研究の推進に加えて、海外研究者の招聘の遅れを取り戻して研究成果の充実を図る。
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