2021 Fiscal Year Research-status Report
動的境界条件を有する拡散方程式の非線形問題への展開
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20K03689
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
川上 竜樹 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 指数型非線形項 / 非線形境界条件 / 高次漸近展開 / 分数冪拡散方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はまず前年度の研究推進方策に沿って半空間において指数型非線形項を境界条件に有する拡散方程式の可解性と漸近挙動について研究を行った。本研究は全空間において同様の非線形項に対して考察を行ったミラノ大学の Elide Terraneo 氏、ベルガモ大学の Guilia Furioli 氏との共同研究の継続研究であり、今回も共同で行った。結果としては、非線形項から予想される適切な空間において、小さな初期値に対して時間大域解の構成を行い、さらに初期値の仮定に応じて解の減衰評価を得るとともに、その漸近挙動が熱核の定数倍に収束することを示した。これにより動的境界条件の非線形問題についても指数型非線形項を有する場合の取り扱いについて一定の示唆を得たとともに、今後の研究の展開について十分な比較対象を得たと言える。この結果については現在投稿中である。
次に挙げられるのは分数冪拡散方程式の高次漸近展開理論の進展である。これは東京大学の石毛和弘氏との一連の共同研究の継続研究であり、今回も共同で行った。これまでの展開理論では積分核の可積分性の弱さに起因して、展開次数の上限に関して制限が付いていた。ここでは積分核の時間微分を用いた新たな展開方法を考案し、これまでの展開次数の上限について、その制限を外すことに成功した。半空間における動的境界条件は分数冪拡散方程式と密接な繋がりがあり、今回の研究成果によって、動的境界条件を有する問題に対する高次漸近展開理論の可能性の足掛かりができたと言える。この結果についても現在投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究実施計画の一部であった指数型非線形項を境界条件に有する拡散方程式については、当初想定していた結果を得ることができた。また、非存在性についても、全空間の場合とは異なる問題点があることがわかり、研究成果としてはまとまってはいないものの、今後の指針として十分な成果が得られたといえる。また、コロナ禍において海外渡航ができず、共同研究者と直接会って議論する機会がなかった中で一定の成果が得られたことは、これまでの連携及び相互連絡があってこその結果であると言える。さらに、分数冪拡散方程式の高次漸近展開理論の進展については当初想定していた以上の成果が得られており、これらの点からは"当初の計画以上に進展している"と言える。
一方で、昨年度の研究推進方策であげた退化する係数を有する放物型方程式の可解性やHalf-Lapalacian を有する粘性 Hamilton-Jacobi 方程式の modulus of continuity については、オンラインツールやメールでのやり取りによって研究自体に進展はあったものの、論文として発表するだけの成果は得られていない。
以上のような背景から、本年度については研究目的に対して"おおむね順調に進展している"と言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずコロナ禍において海外出張が制限されていることを鑑み、国内の共同研究者と密に連絡を取ることで推進できる内容を優先していきたい。特に動的境界条件を有する楕円型方程式系及び非線形境界条件を有する拡散方程式との連立系について、東京大学の向井氏とともに共同研究を始めており、そちらに注力していきたい。また、本研究課題の中心的対象である動的境界条件を有する拡散方程式の基本解の構成について、東京大学の石毛氏と密に連絡を取ることで研究を推進していく予定である。
さらに、退化する係数を有する放物型方程式の可解性やHalf-Lapalacian を有する粘性 Hamilton-Jacobi 方程式の modulus of continuity についても継続して研究を行う。これらについては今年度と同様にオンラインツールを活用した研究打ち合わせをメインに考えているが、コロナの状況が改善次第、対面での研究打ち合わせを行うべく準備を進めていく。
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| Causes of Carryover |
今年度も新型コロナの影響により、参加を予定していた国外の研究集会のほとんどがキャンセル（一部オンライン開催）となったこと、また同様の理由により国外の共同研究者を訪問しての研究連絡ができなかったことにより当初予定していた旅費が執行できなかった。また、オンライン講演会に際した適切な環境構築のために計算機周辺機器を購入したが、年度後半に予定していた計算機の買い替えについては半導体不足による影響で適切なものの購入ができず、次年度に持ち越しとなった。これらの理由により多額の次年度使用額が生じているが、今般のコロナ禍においては予測及び回避が不可能な状況であったと考えられる。
次年度の使用計画としては上記に挙げた計算機、特に初年度に購入したものよりもより持ち運びに適したものの購入を予定している。またコロナの状況を見ながら可能な限り対面での研究連絡や研究集会への参加を行い、最新の研究成果に関する情報取集や共同研究の進展を図りたい。さらに研究の進展に応じて必要となる専門書の購入を行なっていく予定である。
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Research Products
(9 results)
